Понятие выводимости

Пусть имеется конечная совокупность формул H= {A₁,A₂,…,A_n}. Говорят, что формулаBвыводима из совокупностиH(можно записать какB├H), если:

1. либо BH,

2. либо B– доказуемая формула исчисления высказываний,

3. либо Bполучается по правилуModusponensиз формулCиCB, которые выводимы из совокупностиH.

Примеры

Рассмотрим, как можно установить доказуемость формул, используя правило подстановки и правило Modusponens.

Доказать AAA

1. Возьмем аксиому (αγ)((γ)((α)γ)) и сделаем в ней подстановку (α,γ,A,A,A). Получим: (A A)((AA)((AA)A));

2. Докажем выводимость A A:

   1. Возьмем аксиому (α(γ))((α)(αγ)) и сделаем в ней подстановку (α,γ,x,y,x). Получим: (x (yx))((xy)(x x));

   2. Из аксиомы x (yx) и правилаModusponensимеем: (xy)(x x);

   3. Выполним подстановку (y x). Получим: (xx)(x x);

   4. Из аксиомы x xи правилаModusponensимеем:x x;

3. Из формулы x  x и правила Modus ponens имеем: (A  A)  ((A  A)  A);

4. Аналогично: (A  A)  A;

Формула доказана.

Логика предикатов

В алгебре логики высказываний собственно высказывания рассматриваются как неразделимые целые и только лишь с точки зрения их истинности или ложности. Стуктура высказываний или их содержание не рассматриваются. Другим недостатком логики высказываний является ее многословность – даже для описания простых ситуаций требуется значительное количество логических переменных и формул.

Главная идея логики предикатов заключается во взаимнооднозначном сопоставлении каждого уникального объекта с индивидуальной объектной константой, обозначаемой именем объекта, а класс однотипных объектов – собъектной переменной, значением которой являются объектные константы.

Например, рассмотрим высказывание «7 – простое число». Эту фразу в логике высказываний можно представить с помощью логической переменной, предположим a. Для того, чтобы представить на языке логики другое высказывание «13 – простое число» понадобится другая переменная. Таким образом, для описания простых чисел нам понадобится столько логических переменных, сколько существует простых чисел. На языке логики предикатов эта фраза может быть представлена так:простое_число(7). А весь набор подобных фраз:простое_число(значение). В данном примерепростое_число– это предикатный символ, 7 – объектная константа, азначение– объектная переменная.

Предикатом называют высказывательную функцию, определенную на множестве наборов значений объектных переменных. Эта функция может принимать только два значения:ИстинаилиЛожь, называемыеистинностными значениями. Предикаты могут быть одноместными, если аргумент один, или многоместными – если аргументов несколько. Отношения между объектами среды, также как и в логике высказываний, представляются в виде предложений (формул), состоящих из переменных, констант, связок, скобок, а также функций, предикатов и кванторов.

Объектные константы

Объектная константаили простоконстантавзаимнооднозначно сопоставляется в процессе интерпретации с каким-либо одним объектом и обозначается строкой символов, начинающихся с прописной буквы.