Исчисление высказываний

Для определения значения логических формул можно воспользоваться таблицами истинности. Однако, построение таблицы истинности не всегда возможно или удобно. Например, в силу ее значительной размерности для большого числа переменных. Поэтому, наряду с таблицами истинности пользуются и другими, аналитическими способами вычисления значений логических формул.

Логическим исчислениемили простоисчислениемназывают четверку, которая включает в себя:

• Алфавит (совокупность используемых символов);

• Синтаксические правила построения формул в алфавите;

• Аксиомы (общезначимые формулы или тождественно истинные формулы);

• Правила вывода по аксиомам производных формул или теорем.

Основное назначение исчисления высказываний – доказательство истинности формул на основании аксиом или других истинных формул. Для этого вводятся специальные правила вывода вида α ├ γ, где α называется условием,–следствием, которые позволяют по истинности α заключить об истинности. Если в условии или следствии несколько формул, то они записываются через запятую. Если из истинности всех формул, входящих в условие, следует истинность всех формул входящих в следствие, правило называютсостоятельным. Доказательство состоятельности можно осуществить через построение таблицы истинности, где в строках перечислены все модели условия. Если всем этим условиям соответствуют истинные следствия, то правило состоятельно.

Классическое исчисление высказываний

Исчислением высказыванийназывают исчисление, в котором в качестве алфавита взят алфавит логики высказываний, в качестве синтаксических правил – синтаксические правила логики высказываний, в качестве аксиом – некоторое множество общезначимых формул, а в качестве правил – правилаModusponensи правило подстановки.

В классическом исчислении высказываний приняты следующие аксиомы:

1. α(α),

2. (α(γ))((α)(αγ)),

3. (α)α,

4. (α),

5. α(α),

6.   (α),

7. (α)((αγ)(α (γ)),

8. (αγ)((γ)((α)γ)),

9. (α)(α),

10. αα,

11. αα.

Классическое исчисление высказываний использует два правила вывода:

• Modus ponens. Из истинности условия импликации и истинности самой импликации следует истинность следствия импликации: α, α├.

• Правило одновременной подстановки. Из формулы α(р), гдер– переменная, выводима формула α(Р), гдеР– формула, получаемая заменой в α(р) каждого вхождения переменнойрна формулуР: α (р) ├ α (Р). В общем случаем будем обозначать подстановку (x₁,…,x_n α₁,…, α_n).

Таким образом, доказуемой формулойназывается всякая формула, которая или является аксиомой, или получается из доказуемых формул с помощью правил подстановки иModusPonens.

Натуральное исчисление высказываний

При практическом решении задач удобнее пользоваться не законами логики, а правилами из заменяющими. В натуральном исчислении высказываний помимо правилModusponensи подстановки используют следующие:

• Исключение конъюнкта. Из истинности конъюнкции следует истинность любого ее конъюнкта:

α₁α₂…α_n├ α_i.

• Введение конъюнкции. Из списка истинных формул следует истинность их конъюнкции:

α₁, α₂, …, α_n├ α₁α₂…α_n.

• Введение дизъюнкции. Из истинности формулы следует истинность ее дизъюнкции с любыми другими формулами:

α₁├ α₁α₂…α_n.

• Исключение двойного отрицания. Из истинности двойного отрицания формулы следует истинность ее самой:

α ├ α.

• Простая резолюция (удаление дизъюнкта). Из истинности дизъюнкции и отрицания одного из ее дизъюнктов следует истинность формулы после удаления этого дизъюнкта:

α ,├ α.

• Резолюция. Из истинности двух дизъюнкций, одна из которых содержит дизъюнкт, а другая его отрицание следует формула, являющаяся дизъюнкцией исходных формул после удаления этого дизъюнкта:

α ,γ ├ αγ.