Алгебра логики высказываний Основные понятия

Исходным понятием логики высказываний является простое высказывание. Это понятие не определяется через другие понятия, так как является базовым. Подвысказываниемобычно понимают всякое повествовательно предположение, утверждающее что-либо о чем-либо. Если смысл, содержащийся в высказывании, соответствует действительности, то высказывание называютистинным. В противном случае –ложным.

Обычно элементарные высказывания обозначают строчными буквами латинского алфавита a,b,c,x,y…, которые также являютсялогическими переменными. Истинные значения обозначаются буквойИили 1, а ложные –Лили 0.

Из элементарных высказываний можно составить более сложные с помощью логических связок ,,,,, называемых соответственноотрицание,логическоеи(конъюнкция),логическоеили(дизъюнкция),логическоеследствие(импликация),эквивалентностьи круглых скобок (, ). Семантику логических связок можно представить с помощьютаблицы истинности. В левой части этой таблицы перечисляются все возможные комбинации значений логических переменных. В правой части – соответствующие им значения новых выражений, полученных из переменных и связок.

Х	у	х	х  у	х  у	х  у	х  у
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

Связки имеют следующий приоритет: . Приоритет операций, представленных логическими связками можно изменить с помощью скобок. Высказывания, построенные с помощью простых высказываний, связок и скобок, называютправильно построенными формуламиили сокращённоформулами.

Замечательным свойством логики высказываний является то, что ее семантика близка к соответствующим высказываниям на естественном языке. Так, например семантика формул содержащих связки ипрактически совпадает со смыслом фраз содержащих слова «не» и «и». Однако имеются и некоторые различия. Так формулах  унесколько шире, чем русское «хилиу». Выражение «хилиу» по смыслу ближе к формулехуху. Еще больше различий между семантикой формулыхув логике высказываний и выражению «изх следуету». В русском языке это выражение истинно, если истинныхиу, т.е. предложение русского языка по смыслу совпадает с формулойху. Логическое следствие истинно также, еслихиуложны илихложна, ауистинна. Логическую формулухуследует интерпретировать на естественном языке так: «Еслихистинна, тоутоже истинна, а остальное неизвестно».

Для любой формулы также можно построить таблицу истинности. Например, для формулы таблица истинности будет выглядеть следующим образом:

х	у	 х	 y  у	 х  ( y  у)	 x(уу)x
0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1
1	1	0	0	0	1

Очевидно, что если формула содержит nпеременных, то в таблице истинности будет содержаться 2ⁿстрок. В приведенном примере формула содержит 2 переменные и 2²= 4 строки. Кроме того, данная формула истинна на любом наборе значений своих переменных. Такие формулы называютсятождественно истиннымиилитавтологиями. В противоположной ситуации, формула являетсятождественно ложнойилиневыполнимой. Если две разные формулы принимают одинаковые значения на любом наборе значений переменных, то такие формулы называютравносильными. Равносильные формулы будем обозначать знаком равенства =.