Свойства проекции векторов

Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.

Вектор   и его проекция - вектор   - связаны следующим векторным равенством:

Проекция вектора   на некоторую ось   равна проекции на эту же ось вектора  , умноженного на число  :

Проекция вектора   на ось   равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось  :

9.Векторное произведение векторов, его направление

Определение векторного произведения.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов   в трехмерном пространстве.

Отложим векторы   от одной точки. В зависимости от направления вектора   тройка   может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора   на то, как происходит кратчайший поворот от вектора   к  . Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов   называется правой, в противном случае – левой.

Теперь возьмем два не коллинеарных вектора   и  . Отложим от точки А векторы   и  . Построим некоторый вектор  , перпендикулярный одновременно и   и  . Очевидно, что при построении вектора   мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

В зависимости от направления вектора   упорядоченная тройка векторов  может быть правой или левой.

Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение.

Векторным произведением двух векторов   и  , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор  , что

• он является нулевым, если векторы   и   коллинеарны;

• он перпендикулярен и вектору   и вектору   ( );

• его длина равна произведению длин векторов   и   на синус угла между ними ( );

• тройка векторов   ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторное произведение векторов   и   обозначается как  .

К началу страницы

Координаты векторного произведения.

Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и .

Определение.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов   и   есть вектор  , где   - координатные векторы.

Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты  , во второй строке находятся координаты вектора  , а в третьей – координаты вектора   в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):

Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете посмотреть в книге, указанной в конце статьи.

К началу страницы

Свойства векторного произведения.

Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы  , то на основании свойств определителя легко обосновываются следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность  ;

2. свойство дистрибутивности   или  ;

3. сочетательное свойство   или  , где   - произвольное действительное число.

Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению   и  . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому,  , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.