Критерий Стьюдента
Находим значение и дисперсию для двух выборок:
,
,
,
Вычисляем экспериментальный коэффициент Стьюдента:
,
(1)
где
и
-
дисперсии выборок,
и
-
количество испытаний,
и
-
среднее значения выборок.
9,83
(2)
.
Определяем табличное значение
коэффициента Стьюдента при
и
.
=
1,98.
;
9,83>1,99,
Мы видим, что различие коэффициентов существенно, следовательно, выборки не относится к одной генеральной совокупности. Требуется дополнительное исследование с помощью критерия Фишера.
Критерий Фишера
Вычисляем расчетное значение критерия Фишера:
(3)
где
большее
значение дисперсии.
,
Для определения табличного значения коэффициента Фишера рассчитываем число степеней свободы:
; (4)
;
; (5)
.
Табличное значение для критерия Фишера при равно 1,65.
,
2,47>1,65 Расчетное значение больше
табличного, следовательно,
расхождение D существенно различны.
,
(6)
=7,8
,
(7)
(8)
5,39
0,54
(9)
(10)
Вывод
Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что критерий Стьюдента и критерий Фишера помогают нам оценить существенности различия средних значений двух выработок. Для данной оценки лучше использовать оба критерия, для получения более точной информации.
3. Применение методов наименьших квадратов. Задание.
Имеется нелинейная зависимость. Требуется рассчитать нелинейную зависимость по методу наименьших квадратов. Выбрана параболическая зависимость, имеющая вид:
(1)
Исходные данные.
Таблица 1. Исходные данные.
№ |
xi |
yi |
1 |
-0,33 |
1 |
2 |
1,67 |
2 |
3 |
5,1 |
3 |
4 |
9,6 |
4 |
5 |
15,7 |
5 |
6 |
22,9 |
6 |
7 |
31,8 |
7 |
Построение линии тренда.
По значениям исходных данных построим точки и выберем линию тренда, которая лучше всего будет описывать эти точки (рис.1).
Рис.1.
Мы видим, что полиномиальная линия лучше всех трендовых линий описывает данные точки. С помощью программы, в которой выполнялся график, покажем уравнение кривой и корреляционное отклонение.
Аналитическое решение поставленной задачи.
Порядок расчетов начальных значений приведен в таблице 2, последняя строка которой содержит данные, необходимые для составления системы уравнений (2):
, (2)
где m40, 30, 20, 10, 21, 11, 01 числа равные соответственно средним значениям xi4, xi3, xi2, xi, xi2yi, xiyi и yi.
Таблица 2. Начальные значения.
№ |
xi |
yi |
xi2 |
xi3 |
xi4 |
xiyi |
xi2yi |
yi2 |
1 |
1 |
-0,33 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
-0,33 |
-0,33 |
0,11 |
2 |
2 |
1,67 |
4,00 |
8,00 |
16,00 |
3,34 |
6,68 |
2,79 |
3 |
3 |
5,1 |
9,00 |
27,00 |
81,00 |
15,30 |
45,90 |
26,01 |
4 |
4 |
9,6 |
16,00 |
64,00 |
256,00 |
38,40 |
153,60 |
92,16 |
5 |
5 |
15,7 |
25,00 |
125,00 |
625,00 |
78,50 |
392,50 |
246,49 |
6 |
6 |
22,9 |
36,00 |
216,00 |
1296,00 |
137,40 |
824,40 |
524,41 |
7 |
7 |
31,8 |
49,00 |
343,00 |
2401,00 |
222,60 |
1558,20 |
1011,24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cумма |
28 |
86,44 |
140,00 |
784,00 |
4676,00 |
495,21 |
2980,95 |
1903,21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сред.знач. |
4,00 |
12,34857 |
20,00 |
112,00 |
668,00 |
70,74 |
425,85 |
271,89 |
Подставив все известные значения в систему уравнений (2) получим:
Р
ешив
данную систему, получаем а=0,673214, b=-0,04821
и с=-0,92286. Тогда уравнение кривой будет
иметь вид
, что очень похоже на уравнение
кривой, когда решали данную задачу
графически.
Сравнение фактических yi и теоретических yт значений, рассчитанных по уравнению параболы, свидетельствует об удовлетворительном их совпадении (таблица 3).
Расхождение
между фактическими и теоретическими
значениями позволяют найти дисперсию
случайных отклонений
по формуле:
,
(3)
где
вычисляется по формуле:
(4)
Таблица 3.
-
№
x
y
yт
сигма
сигма 2
1
1
-0,33
-0,298
-0,03
0,00
2
2
1,67
1,674
0,00
0,00
3
3
5,1
4,991
0,11
0,01
4
4
9,6
9,656
-0,06
0,00
5
5
15,7
15,666
0,03
0,00
6
6
22,9
23,024
-0,12
0,02
7
7
31,8
31,727
0,07
0,01
Сумма
28
86,44
86,44
0,00
0,04
Сред.знач.
4,000
12,349
12,349
0,000
0,005
Далее вычислим
дисперсию исходных данных по формуле:
,
(5)
Из таблицы (3) видно, что = 0,005
= 119,4
Зная значения и можно найти коэффициент корреляции по формуле:
,
(6)
Вывод
Корреляционное отклонение близко к единице, следовательно, параболическая зависимость хорошо аппроксимирует эмпирические данные.