4. Исследование системы на устойчивость

Под устойчивостью системы понимается ее способность переходить в новое установившееся состояние при изменении задания или нагрузки и возвращаться в исходное состояние после снятия возмущения.

Об устойчивости замкнутых систем управления судят по АФХ разомкнутой системы.

После определения настроек регулятора исследуем данную АСР на устойчивость, а также определим запас устойчивости системы по модулю и по фазе, используя частотный критерий Найквиста-Михайлова. Для этого сначала рассчитаем АФХ регулятора:

. (34)

Разделив W(j) на вещественную и мнимую части, получим:

(35)

(36)

АФХ разомкнутой системы получим как произведение АФХ объекта и регулятора:

. (37)

Разделим W_раз(j) на вещественную и мнимую части:

P_раз() = P()P_р() – Q()Q_p(), (38)

Q_раз() = Q()P_p() + P()Q_p(). (39)

Значения P_раз() и Q_раз() приведены в таблице 3.14.

Таблица 3.14 – Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой АСР

,рад/с	0,00	0.01	0.05	0.07	0.1	0.15	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
P()	0.59	0.589	0.563	0.538	0.489	0.388	0.279	0.086	-0.048	-0.13	-0.175
Q()	-∞	-0.031	-0.15	-0.204	-0.275	-0.361	-0.408	-0.413	-0.356	-0.28	-0.204
Pp()	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66
Qp()	-∞	-88.646	-17.63	-12.521	-8.659	-5.6	-4.018	-2.333	-1.387	-0.736	-0.233
Ppаз()	-1,167	-1.166	-1.143	-1.122	-1.08	-0.993	-0.899	-0.734	-0.621	-0.552	-0.513
Qpаз()	-∞	-52.284	-10.319	-7.277	-4.965	-3.132	-2.206	-1.299	-0.88	-0.649	-0.501

Продолжение таблицы 3.14

,рад/с	0.8	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	∞
P()	-0.198	-0.172	-0.045	0.054	0.072	0.027	-0.026	-0.045	0
Q()	-0.075	0.018	0.109	0.071	-6.49e-3	-0.053	-0.045	-2.27e-3	0
Pp()	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66	2,66
Qp()	0.552	1.188	2.521	3.706	4.832	5.929	7.008	8.078	0
Ppаз()	-0.485	-0.479	-0.395	-0.121	0.222	0.389	0.244	-0.101	0
Qpаз()	-0.307	-0.158	0.178	0.39	0.329	0.021	-0.299	-0.37	0

По полученным данным таблицы 3.14 строю АФХ разомкнутой АСР на комплексной плоскости, рисунок 3.28.

Рисунок 3.28 – Определение устойчивости АСР по частотному критерию Найквиста-Михайлова

Годограф Найквиста не охватывает точку на комплексной плоскости

(-1; j0), поэтому система в замкнутом состоянии устойчива и имеет значительный запас устойчивости по амплитуде C = 0,5 и по фазе γ=59º.

Проверим рассчитанную АСР на устойчивость с помощью подпрограммы MATLAB 6.5 и пакета Control System Toolbox.

В рабочем окне программы вводим специальные команды, задаем передаточную функцию объекта управления, ПИД-регулятора и охватываем объект обратной связью.

С помощью встроенных средств программы Matlab строю годограф Найквиста, рисунок 3.29.

Листинг команд, использованных при работе с MATLAB, представлен ниже:

Задаю передаточную функцию объекта регулирования:

>> w1=tf(0.91,[5.732 1],'inputdelay',0.897)

Transfer function:

0.91

exp(-0.897*s) * -----------

5.732 s + 1

Задаю звено запаздывания объекта управления:

>> w2=pade(w1,1)

Transfer function:

-0.91 s + 2.029

--------------------------

5.732 s^2 + 13.78 s + 2.23

Задаю передаточную функцию ПИД – регулятора:

>> pid=tf([9.553 32.828 7.681],[4.274 0])

Transfer function:

9.553 s^2 + 32.83 s + 7.681

---------------------------

4.274 s

Передаточная функция разомкнутой АСР:

>> W=w1*w2*pid*0.2

Transfer function:

-1.582 s^3 - 1.909 s^2 + 10.85 s + 2.836

exp(-0.897*s) * ----------------------------------------

140.4 s^4 + 362.1 s^3 + 113.5 s^ + 9.53 s

Строим годограф Найквиста:

>> nyquist(W)

Рисунок 3.29 – Годограф (диаграмма) Найквиста

Как видно из рисунка, годограф не охватывает точку с координатой (-1; j0), значит, система устойчива. Система имеет значительный запас устойчивости по амплитуде и фазе .

Запас устойчивости по амплитуде и по фазе часто определяется по графикам Боде, рисунок 3.30.

Р

рад/сек

исунок 3.30 – Логарифмическая амплитудно-частотная и фазовая частотная характеристики