9. Математическое описание объекта регулирования

   1. Идентификация объекта управления

В данном разделе выполнен расчёт автоматической системы регулирования соотношения руда и расхода воды в мельницу, ([8], [11]).

Расчет АСР начинается с составления математического описания объекта управления, при котором определяются его статические (коэффициент усиления - К_об) и динамические (запаздывание - , постоянные времени – Т) параметры.

Расчет ведем при внешнем возмущающем воздействии X_вх =10 % хода регулирующего органа.

Показатели качества регулирования, определяемые технологическим процессом:

- статическая ошибка G_cт= 0;

- максимальное динамическое отклонение G₁  2,5 м³/ч;

- время регулирования t_р ≤ 8 с;

- переходной процесс с 5% перерегулированием.

Данные кривой разгона приведены в таблице 3.11.

Таблица 3.11 – Данные кривой разгона

ΔG(t), м3/ч	0	0	0,5	1,7	2,7	3,8	4,9	5,7	6,5	7,2	7,8	6,3	8,7	9,0	9,3	9,5	9,7	9,8	9,85	9,9	9,95	10,0
t, с	0	0,5	1	1,5	2,0	2.5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0	7,5	8,0	8,5	9,0	9,5	10	10,5

График кривой разгона и возмущающего воздействия X_вх (t), % ХРО представлен на рисунке 3.20, 3.21.

Рисунок 3.20 – График возмущающего воздействия X_вх (t), % ХРО

G(t)

t, с

Рисунок 3.21 – График кривой разгона объекта ∆G(t), м³/ч

Единичная G⁰(t) и нормированная G^Н(t) переходные функции определяются по следующим формулам:

G⁰(t) = G(t) / A, (16)

G^Н(t) = G⁰(t) / G⁰(T_у), (17)

где A – скачкообразное возмущающее воздействие, при котором снята переходная характеристика (А = 3 % ХРО); T_у – время переходного процесса; G^Н(T_у) – установившееся значение переходной характеристики; G⁰(T_у) = 0,91 м³/ч.

Результаты расчётов единичной и нормированной переходных функций сведены в таблицу 3.12.

Таблица 3.12 – Ординаты переходных функций

ΔG(t), м3/ч	0	0	0,5	1,7	2,7	3,8	4,9	5,7	6,5	7,2	7,8	6,3	8,7	9,0
ΔG(t)0, м3/ч	0	0	0,045	0,155	0,245	0,345	0,445	0,518	0,591	0,655	0,709	0,755	0,791	0,818
ΔG(t)н, м3/ч	0	0	0,050	0,171	0,270	0,380	0,490	0,570	0,650	0,720	0,780	0,755	0,830	0,870
t, с	0	0,5	1	1,5	2,0	2.5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5

Продолжение таблицы 3.12

ΔG(t), м3/ч	9,3	9,5	9,7	9,8	9,85	9,9	9,95	10,0
ΔG(t)0, м3/ч	0,845	0,864	0,882	0,891	0,895	0,9	0,905	0,909
ΔG(t)н, м3/ч	0,930	0,950	0,970	0,980	0,985	0,99	0,995	1,0
t, с	7,0	7,5	8,0	8,5	9,0	9,5	10	10,5

По результатам расчетов таблицы 3.12 строю единичную и нормированную переходные характеристики, рисунок 3.22.

t, с

G(t),

1 - ΔG(t)⁰ – еденичная; 2 - ΔG(t)^н – нормированная

Рисунок 3.22 – Переходные характеристики

Из зависимости G⁰(t) находится величина коэффициента усиления объекта K_об:

K_об = G⁰(T_у) = 0,91. (18)

При определении динамических свойств объекта, сам объект представляется последовательным соединением нескольких инерционных звеньев первого порядка и одного звена чистого запаздывания. Исходя из экспериментальных данных, величина запаздывания объекта составляет 0,5 секунду. Уточним это значение, рассчитав величину дополнительного запаздывания τ_д. Для этого возьмем на графике нормированной переходной функции точки t_A и t_B,

Для этого на рисунке 3.22, по нормированной переходной характеристике, графически определим время t_a и t_b, для ΔG^н_а(t)=0,1 и ΔG^н_b(t)=0,7 соответственно:

t_a = 1,2 – 0,5 = 0,7с и t_b = 4,36 – 0,5 = 3,86с.

Определим динамические характеристики объекта при аппроксимации его последовательным соединением апериодического звена и звена запаздывания.

Определим величину дополнительного запаздывания:

, (19)

;

Общее запаздывание объекта τ_об:

_об =  + _д = 0,5 + 0,397 = 0,898 с; (20)

Определим постоянную времени Т_об:

с. (21)

Таким образом, аппроксимирующая передаточная функция:

. (22)

Для определения точности аппроксимации экспериментальной переходной функции решением дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом рассчитываются ординаты аппроксимирующей кривой:

(23)

(24)

Для определения среднеквадратической ошибки аппроксимации вычисляется отношение d_Ап:

(25)

Результаты расчетов приведены в таблице 3.13.

Таблица 3.13 – Ординаты переходных функций

t, с	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
ΔG(t)н, м3/ч	0,05	0,27	0,49	0,65	0,78	0,87	0,93	0,97	0,985	0,995	1,0
ΔG(t)на1, м3/ч	0,02	0,31	0,52	0,66	0,76	0,83	0,88	0,92	0,94	0,96	0,97
dАп*10-3	1,087	1,932	1,087	0,121	0,483	1,932	3,019	3,019	2,445	1,479	1,087

По данным таблицы 3.13 строю график аппроксимирующей кривой показан на рисунке 3.23.

G(t)

t, с

2

1

1 – при аппроксимации решением дифференциального уравнения первого порядка;

2 – нормированная сглаженная

Рисунок 3.23 – Переходные характеристики

По данным таблицы 3 рассчитываем среднеквадратичную ошибку аппроксимации δ:

%. (26)

Погрешность аппроксимации удовлетворительная, так как не превышает  < 3 %.

Построим кривую переходного процесса в среде MATLAB.

Зададим передаточную функцию объекта регулирования:

>> Wо=tf(0.91,[5,732 1],’inputdelay’,0.897)

Transfer function:

0.91

exp(-0.897*s) * -----------

5.732 s + 1

строим кривую переходного процесса:

>> step(Wо)

t, с

G(t)

Рисунок 3.24 – Кривая переходного процесса объекта регулирования

Из полученного графика видно, что переходной процесс является монотонным, оптимальным, перерегулирования нет.