9.2. Метод игр

Игра представляет собой особый вид моделирования процессов (эко­номических, финансовых, технических и т. и.) с любым числом участ­ников, каждый из которых стремится максимизировать некоторую целевую функцию, подчиняясь набору определенных правил. Целе­вые функции, как правило, могут быть различными для различных игроков, поэтому сотрудничество между участниками игры в ряде случаев может дать им определенные преимущества.

Теория игр как раздел исследования операций есть теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности. При этом в качестве конфликта можно рассматривать любое разногласие.

Действующие в конфликте стороны (в общем случае они являются коллективами, которые могут иметь внутреннюю иерархическую структуру) называются коалициями действия. Решения, принимаемые коалициями действия, и те действия, которые находятся в их распоряжении, называются коалиционными стратегиями. В результате выбора коалициями действия своих стратегий складывается некоторая ситуация. Заинтересованные стороны (партнеры), входящие в коалицию действий, называются коалициями интересов.

Наиболее специфической чертой всякой игры является наличие в ней не менее двух коалиций интересов.

Цель теории игр – выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтных ситуациях, т.е. определение оптимальной стратегии каждой коалиции действия.

Стратегия – это система поведения участников игры в той или иной конфликтной ситуации. Когда хотя бы один из участников игры имеет в своем распоряжении бесконечное множество страте­гий, такая игра называется бесконечной. При ограниченном числе стратегий у обоих участников игра называется конечной. Игрок мо­жет принять одно решение (стратегию) и придерживаться его на протяжении всей игры. Например, один участник выбирает какую-то стратегию и не реагирует на поведение другого участника игры. Это означает, что он придерживается чистой стратегии.

Чаще всего в зависимости от конфликтной ситуации участнику приходится принимать различные решения для получения макси­мально возможного выигрыша или минимально возможного проигрыша. Это означает применение смешанной стратегии. Существуют следующие стратегические игры:

• игра двух лиц с нулевой суммой. Она означает, что сумма выиг­рыша каждого участника после окончания игры равна нулю;

• игра по принципу максимина и минимакса. Принцип максимина и минимакса позволяет выбрать стратегии, определяющие мини­мум выигрыша одного участника и максимум проигрыша другого участника;

• игра с седловой точкой. Седловая точка – это равенство ниж­ней и верхней цены игры. Такое равенство называется чистой ценой игры. Стратегии, соответствующие чистой цене игры, – это оптимальные стратегии;

• игры с применением смешанной стратегии.

Игра представляет собой ситуацию, в которой двое или более лиц, принимающих решения (игроков), выбирают стратегии поведения, а окончательный результат игры определяется всей совокупностью решений, принятых в ходе игры всеми участниками.

Когда каждый игрок выбрал свою собственную стратегию, говорят, что состоялась партия, т.е. однократная реализация игры. Стратегия игрока представляет собой набор правил (или программу), определяющих, какие из имеющихся в его распоряжении ходов он должен сделать в каждой партии. В теории игр отыскиваются стратегии, максимизирующие или минимизирующие некоторую целевую функцию (критерий).

Оптимальной стратегией в теории игр называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данной коалиции действий максимально возможный средний выигрыш.

Решение игры заключается в определении наилучшей (оптимальной) стратегии для каждого игрока. «Качество» стратегии определяется, в свою очередь, выбором целевой функции, задание которой зависит от априорных знаний игроков относительно стратегий противника. Если каждому игроку точно известно, как будет поступать противник, то ситуация полностью детерминирована, и целевая функция выражается в максимизации выигрыша. Если известны вероятности выбора стратегий (или ходов), то цель игроков – максимизация ожидаемого выигрыша. Когда эти вероятности неизвестны, то такие ситуации относятся к категории неопределенных. В таких ситуациях применяют различные целевые функции. Это минимакс (или максимин), обобщенный максимин, критерии минимаксного сожаления и Лапласа.

Конкретизация составных частей игры определяет те или иные более конкретные классы игры. Например, если все коалиции действия есть коалиции интересов и наоборот (в коалициях действий отсутствуют коалиции интересов) и все они могут пониматься как нерасчленимые субъекты (фирма в условиях борьбы на рынке или, скажем, научная организация, участвующая в конкурсе на лучший проект), то получается так называемая бескоалиционная игра. Бескоалиционными играми описываются многие экономические конфликты. В этом случае коалиции называются игроками.

Когда потери (проигрыш) одного игрока (или игроков) в точности равны выигрышу другого (или других), такую игру называют игрой с нулевой суммой. Так, например, платежи в игре двух лиц с нулевой суммой можно представить в виде платежной матрицы (см. табл. 1) , в которой платежи игроку В равны платежам игроку А, взятым с обратным знаком.

Таблица 1