2) Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на [a;b] и  (x) – какая-либо ее первообразная на [a;b]. Тогда определенный интеграл от функции f (x) по отрезку [a;b] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией F(x) функция также является на [a;b] первообразной для f (x). Тогда по свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области имеем:

для любого x [a;b] ()

Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определенного интеграла , рассмотрим равенство () при x = a:

Следовательно, равенство () можно переписать в виде:

для x [a;b]

Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:

Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определенным и неопределенным интегралами и дает правило вычисления определенного интеграла.

БИЛЕТ№25

5) Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 6. Пусть функции u(x) и V(x) имеют непрерывные производные на [a;b]. Тогда справедливо равенство:

4) Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 5. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x =  (t) имеет непрерывную производную j '(t) на отрезке [;], область значений этой функции – отрезок [a;b], то есть a  j (t)  b для x t [a;b], причем j (a) = a, j (b) = b.

Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство. Так как f (x)непрерывна на [a;b], то существует определенный интеграл и справедлива формула Ньютона-Лейбница:

(1)

где F(x) – одна из первообразных f (x) на [a;b].

Известно, что F(x) дифференцируема в любой точке [a;b], причем

F'(x) = f (x) для любого x [a;b].

Так как функция x = j (t) непрерывна на [a;b] и множество ее значений совпадает с отрезком [a;b], то сложные функции f(j(t)) и F(j(t)) непрерывны в любой точке t Î [a;b].

Так как j ' (t) непрерывна на [a;b], то функция f(j(t))  j ' (t) тоже непрерывна на [a;b], а значит существует интеграл:

.

Покажем, что функция F(j(t)) является первообразной для . Действительно, (F(j (t)))'_t = F'(x) j '(t) = f (x) j' (t) = f (j (t)) j' (t) для любого t Î [a;b]. Поэтому можно к этому интегралу применить формулу Ньютона-Лейбница:

(так как j (b) = b и j (a) = a). (2)

Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:

.

БИЛЕТ№26

1. Частные производные функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию двух переменных . Пусть точки

Определение 1.

Если x и у получают приращения и соответственно, то функция может получать приращения трех видов:

- частное приращение функции по х;

- частное приращение функции по у;

- полное приращение функции по х и у.

Определение 2.

Частной производной по х функции в точке (х;у) называется предел отношения частного приращения функции по х к приращению при условиях, что и этот предел существует, то есть:

где или – обозначения частной производной по х.

Определение 3.

Частной производной по у функции в точке (х;у) называется предел отношения частного приращения функции по у к приращению при условиях, что и этот предел существует, то есть:

где и – обозначения частной производной по у.

Замечание 1. Частные приращения по х и по у находятся при неизменных переменных у и х соответственно. Поэтому правила нахождения частных производных по х и по у являются обычными правилами дифференцирования функции одной переменной в предположении, что переменные у и х соответственно остаются постоянными.

БИЛЕТ№27