3. Дифференцируемость функции.

Определение 3. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке xD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и ее приращение в этой точке можно представить в виде: x = Ax+(x)x, где A=A(x) – не зависит от x; (x) – бесконечно малая при x0, то есть .

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xD(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то ее приращение в этой точке можно представить в виде:

y=A  x+(x)  x, где A=f ' (x) и (x)0 при x0.

Найдем предел от y при x0:

 по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в т. x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

БИЛЕТ№8

3. Дифференцируемость функции.

Определение 3. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке xD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и ее приращение в этой точке можно представить в виде: x = Ax+(x)x, где A=A(x) – не зависит от x; (x) – бесконечно малая при x0, то есть .

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f(x) дифференцируема в точке xD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f ' (x). При этом

f' (x) = A.

Билет№9

5. Дифференциал функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x, тогда ее приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно x, а второе бесконечно малое при Dx0 более высокого порядка малости по сравнению с Dx:

, где (Dx)  0 при Dx

Инвариантность формы дифференциала

Теорема 14. Пусть функция y=f(U) дифференцируема в точке u, а функция u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x(u=u(x)). Тогда для сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство:

dy = f ' (u)du = y' (x)dx

Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой функцией в точке x. Поэтому справедливо равенство:

dy = y' (x)dx

Но так как функция y(x)=f(u(x)) сложная функция, то

y' (x) = f’(u)  u' (x)

Поэтому dy = y' (x)dx = f’(u)u' (x)dx = f’(u)du, так как по условию теоремы функция U = U(x) дифференцируема в точке x

du = u' (x)dx.

Теорема доказана.

БИЛЕТ№10

. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Теорема 1. Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, то есть для любых x[a;b] выполняется неравенство:

m ≤ f(x) ≤ M.

Теорема 2. Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a;b], найдется хотя бы одна точа х_о, в которой выполняется равенство:

f(х_о) = С.

Теорема 3. Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х_о(a;b), в которой выполняется равенство:

f(х_о) = 0.

Теорема 4 (теорема Ролля)

Если функция f(x) определена на [a;b] и выполнены следующие условия:

1. f(x) непрерывна на [a;b];

2. f(x) дифференцируема на (a;b);

3. f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка х_о, в которой выполняется равенство:

f ' (х_о) = 0.

Теорема 5 (теорема Лагранжа).

Если функция f(x) определена на [a;b] и выполнены следующие условия:

1. f(x) непрерывна на отрезке [a;b],

2. f(x) дифференцируема на интервале (a;b), то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х_о, в которой выполняется равенство:

f ' (х_о) = .

БИЛЕТ№11

Теорема 7 (правило Лопиталя).

Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х_о и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

1. f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке, за исключением, может быть, самой точки х_о;

2. g ' (x)  0 для любого x из этой окрестности;

3. или

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1. Это правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределенность другого типа: 0×∞, ∞ - ∞, 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределенность приводится к или , а затем можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2. Если к условиям теоремы 6 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х_о, то при выполнении остальных требований для f'(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

= =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

БИЛЕТ№12

Теорема 6 (производная сложной функции)

Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причем u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и ее производная вычисляется по формуле:

(f (u(x)))' = f '(u) ×u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(U). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то ее приращение можно записать в виде:

, где

Разделим на Dx и перейдем к пределу при Dx0:

(если Dx0, то Du0, т.к. u(x) дифференцируема, а значит непрерывна)

Значит: (f(u(x)))' = f’(u) ×u' (x).

Теорема доказана.

БИЛЕТ№13