Вопрос №1

Определение 4. Число А называется пределом функции f(x) при x  x₀, если для любого наперед заданного малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой δ-окрестности точки x₀, то есть , выполняется неравенство: .

Итак: и .

1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 8. Функция (x) называется бесконечно малой при x  x₀, или в точке , если предел (x) при x , равен нулю: .

Основные свойства бесконечно малых функций

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в этой точке . То есть: если - бесконечно малые функции в точке , то - бесконечно малая функция в этой точке .

2) Произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в точке . То есть: если - бесконечно малые функции в точке , то - бесконечно малая функция в этой точке .

3) Произведение бесконечно малой функции в точке на ограниченную функцию в некоторой окрестности точки есть бесконечно малая функция в точке , то есть, если α(x) бесконечно малая функция в точке и f(x) ограниченная в некоторой окрестности точки , то α(x)f(x) – бесконечно малая функция в точке .

ВОПРОС№2

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует конечный предел суммы этих функций в точке , равный сумме пределов этих функций.

Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1 f(x)=А+a(x), где a(x)– бесконечно малая функция в точке x₀.

Пусть, , тогда по теореме 1 g(x)=B+β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке x₀. Рассмотрим сумму этих функций: f(x) + g(x) = = A + a(x) +B + β(x) = (A+B) + a(x) + β(x), обозначим γ(x) = a(x) + β(x) -

бесконечно малая функция в точке x₀ (по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f(x)+g(x)=A+B+γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует предел произведения этих функций в точке , равный произведению пределов этих функций.

Доказательство: Пусть =А, тогда по теореме 1: f(x)=А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке . Пусть , тогда по теореме 1: g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке . Рассмотрим произведение этих функций:

f(x) × g(x) = (А +a(x))(B + β(x)) = AB + B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x).

Обозначим: Ba(x) + Aβ(x) + a(x)β(x) = γ(x) – бесконечно малая функция в точке (по свойствам бесконечно малых функций). Получим: f(x)×g(x) = A×B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 4. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), причем , то существует предел частного этих функций в точке , равный частному пределов этих функций.

То есть: если существует =А и существует , B≠0, то существует .

ВОПРОС№3

6. Первый замечательный предел

Теорема 6. Предел функции в точке x = 0 существует и равен 1, то есть: .

Доказательство:

1. Пусть x > 0 (x )

(1)

; ;

(x – в радианах)

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей:

,

,

Так как все части двойного неравенства положительные, можно переписать так:

Т.к. то по теореме 5: .

2. Пусть x<0 (x )

(по доказанному в первом случае)

Следовательно, .

Теорема доказана.

7. Второй замечательный предел

Теорема 7. Предел функции при x существует и равен числу e, то есть:

.

БИЛЕТ№4

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀D(f), если она определена в некоторой окрестности точки x₀ и предел f(x) в точке x₀ равен значению функции в этой точке, то есть:

= .

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀D(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть: .

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀D(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует правый и левый предел f(x) в точке , причем они равны между собой и равны значению функции в этой точке, то есть:

а) = А;

б) = В;

в) А = В = .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

3. Точки разрыва функции и их классификация

Определение 5. Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f(x).

Классификация точек разрыва

Определение 6. Точка x₀ называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x₀ либо не определена, либо имеет значение f(x₀), не совпадающее с найденным пределом:

f(x₀-0)= f(x₀+0) ¹ f(x₀).

Определение 7. Точка x₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, то есть:

f(x₀-0) ¹f(x₀+0).

Определение 8. Точка x₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.

1.

Решение. На промежутке (-∞;-1) f(x)= -x+1, на (-1;1) и на (1;+∞) f(x) = x-1.

БИЛЕТ№5

Определение 2. Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции y = f(x) обозначают: или . Поэтому можно записать:

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки x₀ (рис.5).

Рис. 5

Точка M₀(x₀;y(x₀)) – фиксированная точка графика y = f(x). Точка M(x₀+Dx;y(x₀+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом Dx 0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рассмотрим  M₀MA: tg_сек= , _сек = угол наклона секущей M₀M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx 0:

То есть y' (x₀) = tg _кас => частное значение производной функции y = f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀;y(x₀)).

Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀;y₀) с известным угловым коэффициентом K_кас = y'(x₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀;f(x₀)):

y = f(x₀) + f' '(x₀) × (x-x₀)

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x₀;f(x₀)):

y = f(x₀) - ,

используя условие перпендикулярности прямых: K_норм = - .

БИЛЕТ№6

4. Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x)  V(x) дифференцируема в т.x и ее производная вычисляется по формуле:

(U(x)  V(x))' = (U(x))'  (V(x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x)  V(x).

Тогда y=UV. Разделим на x и перейдем к пределу при x0:

так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

Значит, (U(x)  V(x))' = U' (x)  V' (x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в т. х, то функция (U(x)  V(x)) дифференцируема в т. х и ее производная вычисляется по формуле:

(U(x)  V(x))' = (U(x))' V(x) + U(x)  (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию y = U(x)V(x). Найдем ее приращение y = (U+U)(V+V) - UV = UV + UV + VDU + DUDV -UV= = UDV + VDU + DUDV.

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx0:

так по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит , и .

Значит, (U(x) V(x))' = U’(x)  V(x) + U(x)  V' (x).

Теорема доказана.

Следствия.

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в т. х, то функция (U(x)  V(x)  W(x)) дифференцируема в т. х и ее производная вычисляется по формуле:

(UV×W)' = U'×V×W + U×V'×W + U×V×W'.

б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:

(C×U(x))' = C×U' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x)0, то функция дифференцируема в точке х и ее производная вычисляется по формуле: .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдем ее приращение

Разделим y на x и перейдем к пределу при x0:

Значит, .

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции)

Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причем u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и ее производная вычисляется по формуле:

(f (u(x)))' = f '(u) ×u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(U). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то ее приращение можно записать в виде:

, где

Разделим на Dx и перейдем к пределу при Dx0:

(если Dx0, то Du0, т.к. u(x) дифференцируема, а значит непрерывна)

Значит: (f(u(x)))' = f’(u) ×u' (x).

Теорема доказана.

БИЛЕТ№7