Решение прямым методом
1ый шаг
t0=0 X()'=X0+t02=1+(0)2=1
при t1=0.025 X1=X0+hX0'=1+0.025×1=1.025
2ой шаг
t1=0.025 X1'=X1+t12=1.025+(0.025)2=1.025+0.000625=1.025625
при t2=0.05 Х2 =X2+hX1'=1.025+0.025×1.025625=1.05064
и т. д.
Решение обратным методом
X1=X0+hX1'
1ый шаг
X1'=X1+t12=1.025+0.000625= 1.025625
(по прямому методу)
X1=X0+hX0'=1.025
X0'=X0+t0=1
X1=X0+hX0'=1.025
X1=1+0.025×1.025625=1.0256406 – более точное значение, чем по прямой формуле.
2ой шаг
X2=X1+hX2'
X2'=X2+t22=1 .05064+(0.05)2=1.05314
Х2=1.0256406+0.025(1.05314)=1.0519691
Глава 1.
Алгоритмы и модели компоновки ЭС.
1.1. Решение задачи типизации с использованием графа.
Конструкции РЭС строятся по иерархическому принципу и состоят из структурных иерархических уровней.
Элементы структурных уровней часто называют типовыми элементами, а унифицированные части их называют конструктивными модулями того или иного уровня.
На этапе конструкторского проектирования решаются вопросы, связанные с компоновкой РЭС.
Под задачей компоновки коммутационных схем (КС) понимаются задачи объединения модулей низшего (i-1)-го уровня в модуле более высокого i-ro уровня по заданному критерию или набору критериев оптимизации и при наличии заданных ограничений.
В качестве исходных данных для решения задачи компоновки выступает коммутационная схема (С).
Задача компоновки КС формулируется как задача разбиения графа.
Алгоритмы компоновки типовых блоков сводятся к так называемым задачам покрытия и типизации.
Важной задачей в ряду общих проблем компоновки КС является ПОКРЫТИЕ, то есть преобразование функциональных схем в принципиальные.
Под покрытием понимается представление функциональной схемы РЭА при помощи типовых конструктивных элементов, на которых она будет реализована, и связей между ними.
Форма и результат конструктивной реализации схемы в значительной степени предопределяет надежность работы РЭА.
Решение задачи покрытия дает возможность представить функциональною схему РЭА в виде принципиальной схемы соединения ЭРЭ. Однако элементы могут быть различными (резисторы, конденсаторы, транзисторы, ИМС и т.д.). Поэтому при решении задачи покрытия можно рассматривать вопросы выбора класса элементов и минимизации числа типов элементов. Цель покрытия - выбор оптимальной элементно-технической базы объекта проектирования. Исходными данными являются функциональная схема и набор ячеек, параметры которых оказывают решающее влияние на результат покрытия схемы.
Типизация - это разбиение КС на части по критерию оптимальности - минимуму номенклатуры частей разбиения или по другому критерию оптимальности - максимуму однотипности используемых ячеек. Отметим, что сокращение номенклатуры типовых элементов конструкции (ТЭК) позволяет уменьшить затраты на дальнейшее проектирование.
Рассмотрим задачу типизации (курсовая работа - первый вопрос). В зависимости от постановки задачи проектирования различается и постановка задачи типизации.
В случае БИС - под однотипными ТЭК понимают элементы, имеющие одинаковый состав элементов и часто добавляется требование совпадения схем соединений ТЭК с точностью до элемента.
Однотипными называются ТЭК, имеющие одинаковый состав элементов и одинаковую КС.
В этом случае задача типизации формулируется А. М. Бершадским как задача выделения в графе изоморфных подграфов. Поскольку элементы схемы могут быть различных типов, то в этом случае используются графы с весами на вершинах и ребрах. Тождественные преобразования графов, сводимые только к преобразованию вершин и ребер, приводят к получению изоморфных графов.
Два графа G = (Х,U) и G' = (Х',U') называются изоморфными, если можно установить взаимно однозначное соответствие Х↔X', U↔U', такое, что если (Xi,Xj) є X ↔ (Xi',Xj') є X' то ребро UR = (Xi,Xj) є U ↔ Ur'=(Xi', Xj' ) є U1'.
Изоморфные графы могут быть получены один из другого путем перенумерации их вершин.
Задана функциональная схема, состоящая из элементов разных типов.
Задача выделения в графе G изоморфных подграфов формулируется следующим образом: найти разбиение φ(G) є 0 графа G на множество групп Г={Г1,.....,Гf} изоморфных подграфов Гi, удовлетворяющих следующим требованиям:
- любые два подграфа, принадлежащие произвольной группе разбиения, не должны пересекаться;
- множество вершин любых двух подграфов разбиения недолжны пересекаться;
- число вершин любого подграфа разбиения не должно превышать заданное (конструктивное ограничение, связанное с числом элементов на типовом элементе конструкции);
- суммарное число внешних ребер каждого подграфа не должно превышать заданное (конструктивное ограничение, связанное с числом элементов разъема или длиной параметра корпуса ТЭК).
Критерием оптимальности при типизации является минимальное число групп изоморфных подграфов, полученных в результате разбиения. Для решения задачи типизации путем сведения ее к задаче выделения в графе изоморфных подграфов.
ПРИМЕР:
Тип 2
1
Тип 6
3
Тип 4
2
Тип 2
4
Тип 4
5
Тип 6
6
Тип 6
9
Тип 4
8
Тип 2
7
Схема коммутационная
П
о
исходной схеме строим взвешенный граф
G*=(X.U)
Строится матрица смежности
Далее по алгоритму выделим максимальные мощности множество изоморфных подграфов, имеющих максимальное число вершин и ребер.
1. Объединяются равно вариантные вершины графа G=(X,U) в группы Гik k - шаг выделения изоморфных подграфов. k=0 - начальный шаг.
Равно инвариантные вершины (инвариантные вершины - вершины, у которых степень и вес одинаковы) объединяются в группы.
Г10 = {X1, Х4, Х7} степень р(Хi) = 2 и вес β = 2;
Г20 ={Х2, Х5, Х8} степень p(Xi)=3 и вес β = 4;
Гз0 ={ХЗ, Х6, Х9} степень p(Xi)=5 и вес β = 6;
(локальной степенью вершины q называется число ребер, инцидентных одной вершине)
2. Определяются группы Г с мощностью множества, равного 1(t=1) и производиться исключение их из дальнейшего рассмотрения. Мощность t - количество вершин в группе. В нашем примере таких групп нет.
3. Рассматриваются все возможные объединения Гi0 и Гj0 пар групп равно вариантных вершин, и находится максимальное число изоморфных подграфов, состоящее из двух вершин.
L=1(1-1)/2
L=3(3-1)/2=3
1 - число групп.
L - число возможных объединений групп.
Процесс выделения изоморфных подграфов заключается в выборе максимального числа одинаковых (но не нулевых) элементов подматрицы R[Гik/Гjk] расположенных в разных строках и столбцах рассматриваемой подматрицы, где R[Гik/Гjk] - подматриц матрицы R исходного графа, расположенная на пересечении строк, соответствующих вершинам Xi є Гi, и столбцов, соответствующих вершинам Xj є Uj.
4. Объединение групп Гik и Гjk
Определение изоморфных подграфов, имеющих мощность t=k+2, k=0.
В результате объединения на первом шаге образуются три группы изоморфных подграфов:
Г11 = {Х1-Х2, Х5-Х4, Х7-Х8} t=2
Г21 = {Х1-ХЗ, Х4-Х6, Х7-Х9} t=2
Г31 = {Х2-ХЗ, Х5-Х6, Х8-Х9} t=2
5. k=ki+1 - переход к следующему шагу наращивания изоморфных подграфов.
k = 1
6. Для каждой группы Гi1 находится исходный массив вершин Mi0 для дальнейшего рассмотрения изоморфных подграфов данной группы. Такой массив составляется из вершин, не вошедших в рассматриваемую группу изоморфных подграфов, причем мощность исходного массива (число вершин, входящих в массив, входящих в массив) должно быть не менее двух.
Имеем:
MiR = X*/ГiR
М10 = (ХЗ, X6, X9) для Г11
М20 = (Х2, Х5, Х8) для Г21
М30 = (Х1, Х4, Х7) для Г31
7. Исходный массив Mi0 разбивается на группы равно вариантных вершин Гij0, аналогично пункту 1.
Г110 = {ХЗ, Х6, Х9} для Г11
Г210 = {Х2, Х5, Х8} для Г21
Г310 = {Х1, Х4, Х7} для Г31
8. Определяются группы ГMiR с мощностью t=1 и исключаются из дальнейшего рассмотрения.
9. Для каждого массива M*Ri проверяется условие M*Ri≠0. Если условие для всех массивов не выполняется, то дальнейшее наращивание изоморфных подграфов невозможно, т.к. отсутствуют равно вариантные вершины. В этом случае переход к 11. Если хотя бы для одного массива условие выполняется - переход к 10.
10. Каждая группа изоморфных подграфов Гi1 поочередно объединяются со всеми группами Гij0 своего исходного массива.
k = 1- второй шаг массива.
На основе подматриц каждого объединения Гi1 U Гij0 определяются группы изоморфных подграфов, имеющих мощность t=k+2 аналогично пункту 4.
Получаем три группы изоморфных подграфов с числом вершин в каждом графе, равном 3.
Г12={Х1Х2ХЗ, Х4Х5Х6, Х7Х8Х9}
Г22= {Х1ХЗХ2, Х4Х6Х5, Х7Х9Х8}
Г23= {Х2ХЗХ1, Х5Х6Х4, Х8Х9Х7}
Так как ни для какой Гi2 нет исходного массива, то процесс наращивания мощности изоморфных подграфов прекращается.
11. Конец работы алгоритма.
В результате работы алгоритма из исходного графа выделено три группы изоморфных подграфов Г21, Г22, Г23. Анализ этих групп показывает, что они полностью совпадают, то есть по существу, выделяется одна группа, состоящая из трех изоморфных подграфов.