Метод Ньютона.

(метод касательной).

Метод Ньютона предусматривает использование начального приближенного решения х⁽⁰⁾, проведение итерационной процедуры и если величина (X^k+1-X^k )/Х^k+1 - достаточно мала, констатацию факта сходимости. (k-количество итераций).

Другими словами решение нелинейных уравнений можно интерпретировать как повторное решение линейных на каждом этапе итерационного процесса.

П

Y

a

b X

усть корень ξ уравнения f(x)=0 определен на отрезке [а,b], причем f'(х) и f ''(х) непрерывны и сохраняют определенные знаки при а ≤ х ≤ b.

Н айдя какое-нибудь приближенное значение корня х_п ≈ (а ≤ x_n ≤ b) мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом:

Положим ξ = x_n+h_n (*),

где h_n - считается малой величиной.

Отсюда, применяя формулу Тейлора, получаем :

0=f(x_n+h_n) ≈ f(x_n)+h_nf'x_n)

Следовательно:

Внеся эту поправку в уравнение (*), найдем следующее (по порядку) приближение корня:

Выводы:

1) Итерационные методы дают приближенное (значение) решение, хотя и сколь близкое к точному.

2) Однако, реальные схемы имеют тот недостаток, что если 1-ое приближенное решение оказывается сравнительно далеким от истинного, то сходимости не будет.

3) Метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, т.е. погрешность для (k+1) приближения убывает пропорционально квадрату погрешности для к приближения.

Возможны и другие методы решения нелинейных уравнений, в том числе при которых они заменяются подходящим линейным отображением с помощью аппроксимации (например, с использованием ортогональных полиномов Лежандра) или с помощью интерполяции (например, с использованием функций Лагранжа, Ньютона, Гаусса и др.) заменяются наилучшим приближением, которое решается известными численными методами.

Анализ переходных процессов. Метод Эйлера. Формула трапеций.

Рассмотрим однокаскадный резонансный LC-усилитель.

Рис. 4.1. Принципиальная схема LC-усилителя

Его передаточная функция имеет вид:

усиления на резонансной частоте, L, с, r - индуктивность, емкость и последова-тельное сопротивление потерь параллельного колебательного контура.

ММ резонансного контура в виде ОДУ

или вводя обозначения I=cdU_BbIX/dt, образуем систему уравнений в нормальной форме Коши

U_BХ, U_BbIX - заданная и рассчитанная функции времени соответственно.

Метод Эйлера.

Из приведенных примеров можно сделать вывод, что на более высоких уровнях (макроуровнях) функциональные модели представляют собой систему алгебраи-ческих или ОДУ и для их получения и решения используют соответствующие численные методы.

В систему уравнений, описывающих динамические характеристики схемы, входят не только уравнения законов Кирхгофа и уравнения, описывающие её резистивные элементы, но и дифференциальные уравнения, описывающие её ёмкости и индуктивности.

Т.О., анализ переходных процессов (временного отклика) представляет собой задачу решения обычных дифференциальных уравнений. Другими словами, разбив временной интервал [0,Т] на конечное число отрезков h (для простоты длина отрезка считается постоянной) и положив

t₀ = 0 t_n = T t_n+1=t_n+h n=0,1,...,N

для каждого момента времени t_n численным способом можно найти приближение X(t_n).

Рассмотрим большую группу методов численного интегрирования, в которой используются соотношения, опирающиеся на линейные многошаговые формулы: прямая и обратная формулы Эйлера (формула трапеций).

Предположим, что ДУ, которое должно быть проинтегрировано имеет вид:

x'=f(x,t) (1), где t - текущее время.

Соответствующий этому уравнению интеграл

(2)

Предположим, что известное приближенное решение X_n в точке t_n.

Требуется получить решение X_n+1 в момент t_n+1, введя шаг по времени

h=t_n+1-t_n

Если решение начинают при n=0, то начальное решение X₀=х(а) - известно.

Для любых других n численное X_n будет в общем случае отлично от точного решения x(a+nh), т.к. Х₀ - известно, можем рассчитывать Х₀' по формуле (1) и получить приближенное значение Х₁, приняв, что при изменении t от t₀ до t₁=t₀+h функция - f(x,t) остается постоянной и равной

f(x₀,t₀)=x₀'

Тогда из (2) найдем

X₁=x₀+hx₀' (З) - прямая формула Эйлера

При получении (3) искомая функция x(t) была аппроксимирована на шаге интегрирования прямой, совпадающей с касательной к этой функции в точке x₀=x(t). Как видно из рисунка, ошибка расчета тем больше, чем больше размер шага h.

Можно выразить X₁ через значение X₀ и производную X₁'=f(x₁,t₁). Для этого нужно, как и прежде, принять, что функция f(x,t) остается на интервале t₀<t<t₀+h постоянной и равной f(x₁,t₁). Тогда из (2) следует выражение X₁=X₀+hX₁' (4), которая называется обратной формулой Эйлера.

Перепишем выражение (3 и 4)

1/h(X₁-X₀)=X₀' 1/h(X₁-X₀)=X₁' (5)

Эти выражения показывают, что приращение искомой функции на шаге интегрирования (левые части определяются производной от этой функции, вычисленной либо в начальной Х₀, либо в конечной X₁ точках шага). Такое представление формул Эйлера дает возможность определить приращение искомой функции на шаге интегрирования линейной комбинацией производных Х₀' и X₁'.

1/h(X₁-X₀) = b₀X₀'+b₁X₁' (6)

полагая b₀=b₁=l/2 приходим к формуле трапеций

X₁=X₀+h/2(X₀'+X₁') (7)

Погрешность интегрирования зависит от способа деления временного интервала. Таким образом, с уменьшением длительности отрезков, на которые делится временной интервал, время, затрачиваемое на вычисления, возрастает, а с увеличением их длительности решения нелинейных уравнений в каждый момент времени не обладает сходимостью. Обычно длительность отрезка устанавливают для каждого данного момента времени, ориентируясь на погрешность, определяемую формулами интегрирования, или на количество итераций.

Пример

Используя прямой и обратный метод Эйлера решить следующие дифференциальное уравнение (уточнить приближенное значение корня Х₀ с помощью 2^х шагов):

X' = X + t², где X' = dx / dt

h = 0.025 X₀ = 1