Разбиение графа на плоские суграфы
Пусть задан произвольный граф G=(X,U), имеющий гамильтонов цикл. Пусть ребра, инцидентные одной вершине, не пересекаются между собой, два любых ребра гамильтонова цикла не образуют пересечений. Каждому ребру графа Ui,j є U поставим в соответствие двоичный символ aij,
1
,
если ребро Uij
лежит во внутренней области
aij=
0, если ребро Uij лежит во внешней области
Будем обозначать
инверсию aij
как
.
Граф G
будет плоским, если его разбиение на G0
и
так, что
(общее число пересечения ребер), то есть
Для определения планарности графа надо решить данное уравнение.
Так как as,t
≥ 0, т.е.
неотрицательно, то
.
Левая часть
уравнения является двоичной логической
функцией эквивалентности, которая равна
нулю, когда переменные ak,j
и
равны друг другу. Такая запись означает,
что ребра Uk,j
и Um,i
не образуют пересечений, если их провести
в разных областях.
Решая уравнение,
будем получать выражения вида
,
число которых равно числу однородных
элементов. В результате получим систему
равенств следующего вида:
В системе можно выделить некоторое множество подсистем, каждая из которых содержит равные элементы, причем индексы правой и левой части двух или более равенств могут совпадать, что дает возможность свести выражение к виду:
Если в данном
выражении найдется хотя бы один такой
элемент as,t
для которого в этом выражении существует
as,t
, что
(G)
≠ 0. Число
пар вида
является
верхней оценкой числа планарности
графа.
ПРИМЕР №1: Задан граф G=(X,U)
Найдем оценку
числа планарности графа
(G),
а так же те ребра, которые следует
удалить, чтобы граф G
стал плоским. По методу, описанному
выше, составим уравнение и определим
P0(G)
и
(G):
n=6;
k=4,5,6;
i=3,4,5;
m=1,2,3
P0(G) = a2,5(a1,3 + а1,4) + а3,6(а1,4 + а1,5 + а2.5) + а3,5·а1,4 + а4,6(а1,5 + а2,5 + а3,5);
;
Приравнивая элементы, заключенные в скобки, получаем истину:
Сведем полученную систему к выражению вида:
Так как в полученной подсистеме две пары вида
то '(G)=2.
Проводим
с наружи
Удаляем
Удаляем
Результат:
Удаляем Удаляем
=
= = a3,6
= = = = a4,6
=
Проводим внутри Проводим снаружи
ПРИМЕР №2
n = 7
k = 2, 3, 4, 5
j = 4, 5, 6, 7
i = 3, 4, 5, 6
m = 1, 2, 3, 4
Q = l => граф непланарен.
В результате получим: ребро (2,6) - удаляем => граф станет планарным.
