Глава 3 Алгоритмы и модели трассировки
В зависимости от конструктивной реализации связей выделяют трассировку проводных соединений, трассировку печатных соединений трассировку на кристалле БИС.
Среди всех конструктивно - технологических реализаций связей проводной монтаж с точки зрения практического решения задачи трассировки наиболее прост. Это объясняется тем, что проводники изолированы друг от друга и не стоит задачи об ограничениях на пересечениях. Поэтому основным критерием трассировки проводных соединений является суммарная длина соединений.
Для проводного монтажа задача трассировки сводится к построению на вершинах графа дерева с минимальной суммарной длиной ребер, при этом вершины моделируют соединяемые контакты, а ребра - межсоединения. Единственное ограничение накладывается на максимальную локальную степень вершины, т.к. технологически целесообразно подсоединять к одному контакту не более определенного конечного числа соединений.
Задача построения минимального дерева, т.е. определение КПД. Решение задачи дано в работах Краскала, Лобермана, Уйэнберга и Прима.
Связаный граф без циклов называется деревом и обозначается:
T = (X, U) |X| = n
Любое дерево Т имеет (n-1) ребро.
Начальная вершина называется корнем, из которого выходят ребра - ветви дерева.
В дереве любые две вершины Xi, Xj связаны единственной целью.
В любом связном графе G можно выделить произвольное дерево Т.
Наибольший интерес в конструкторском и технологическом проектировании представляют деревья, у которых число вершин равно числу вершин графа, из которого выделено это дерево.
Такие деревья называются покрывающими или основными.
Число покрывающих деревьев t в полном графе Kn составляет t=nn-2.
Рис. 8.8 Рис. 8.9
tl=n3-2=3 t2=44-2=16
Полным графом называется граф, в котором между любой парой вершин имеется ребро ( обозн. Kn) t = nn-2; t1 = 33-2 = 3; t2 = 44-2 = 42 = 16 Множество деревьев графа называются лесом.
Часто в проектировании схем ставится задача нахождения оптимального соединения определенных точек (схем). В теории графов эта задача формулируется следующим образом: в связаном графе G = (X, U) отыскать маршрут, который начинается в заданной вершине Xi є X и приводит в искомую вершину Xj є X, причем маршрут должен содержать кратчайшее число ребер.
Задача состоит в определении одного из n-2 возможных деревьев с минимизацией числа проводов.
ПРИМЕЧАНИЕ:
Каждому ребру Ui є U графа G = (X, U) ставится в соответствие некоторое неотрицательное число ν (U), называемое его мерой или весом (характеристика расстояния или важности связи).
Необходимо найти алгоритм построения минимального покрывающего дерева Т, у которого сумма мер, взятая по всем ребрам
Такие деревья называются кратчайшими покрывающими деревьями (КПД).
Графы с весами на ребрах или вершинах будем называть взвешенными.