§3. Распределение непрерывных случайных величин.

Для непрерывной случайной величины невозможно описать закон распределения с помощью таблицы, в которой были бы перечислены все возможные значения этой величины и их вероятности. Однако различные области возможных значений этой величины все же не являются одинакого вероятными. т.е. и для непрерывной случайной величины существует свое “распределение вероятностей”, хотя и не в том смысле, как для дискретной величины.

1. Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(x) равная вероятности того, что случайная величина приняла значение, меньшее х: F(x) = P(X x) .

Функцию F(x) называют еще интегральной функцией распределения.

Геометрически это равенство можно истолковать так: функция F(x) есть вероятность того, что случайная величина Х (случайная точка Х на оси Ох ) в результате опыта попадет левее точки х (рис. 3.).

Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Причем она существует для всех случайных величин, как дискретных, так и непрерывных.

Рис. 3. Геометрический смысл функции распределения непрерывной случайной величины.

2. Основные свойства функции распределения:

1. Функция распределения принимает значения в интервале (0; 1):

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. F(x) - неубывающая функция, т.е. если х₂  х₁ , то и F(х₂ )  F(х₁).

3. Если все возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежит интервалу (a; b), то:

F(x) = 0 при x ≤ a; F(x) =1 при x ≥ b.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной велечины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения :

Это значит, что график функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми y=0 и y=1.

3. Функцию f(x), равную производной ее интегральной функции распределения F(x) называемой плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной велечины X: f(x)=F^/(x).

Поэтому функцию f(x) называют дифференциальной функцией распределения .

4. Кривая у=f(x), изображающая плотность распределения случайной величины называемой кривой распределения.

5. Основные свойства функции распределения:

1. Функция f(x) является неотрицательной:

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина в результате испытания примет какое-либо значение из интервала (а,в) равна определенному интегралу от плотности вероятности в пределах от а до в:

; так как f(x)=F^/(x),

то

Т.о. вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервал (а; в), равна приращению функции распределения на этом интервале F(в) - F(а).

Геометрически это выражение можно обосновать так (рис. 4.): вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а; в) численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х=а, х=в и кривой f(x).

Следствие 1. Заменив пределы интегрирования а на , в на х получим интеграл с переменным верхним пределом, который равен функции распределения этой случайной величины.

Следствие 2. Несобственный интеграл от функции плотности распределения равен 1.

.

Это равенство называют условием нормировки плотности вероятности.

Рис. 4. Геометрический смысл функции плотности вероятности непрерывной случайной величины.

6. Числовые характеристики непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f(x) определяющая аналогично числовым характеристикам дисперсных случайных величин (за исключением моды и медианы).

• Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку (а;в) называют величину определенного интеграла:

, где f(x) - плотность вероятности.

Название математического ожидания – центр распределения вероятностей случайной величины Х для непрерывных случайных величин даже более актуально, чем для дискретных.

• Дисперсией непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку (а; в), называют величину определенного интеграла:

,

где - математическое ожидание ; f(x) - плотность вероятности.

• Среднее квадратичное отклонение нерперывной случайной величины .

Пример 15.

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

Найти М(Х), D(X), σ.

Решение.

1. Найдем функцию плотности вероятности

2. 

3. 

4.