§4. Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности события предполагает, что:

число элементарных исходов конечно и эти исходы равновозможны. Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом различных возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих даже конечное число исходов испытаний представить в виде суммы равновозможных элементарных событий.

Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограниченно. Рассмотрим другое определение, иногда более удобное для расчета вероятности.

Пусть производится n однотипных испытаний, одним из исходов которых является данное событие А и это событие появляется в ходе этих испытаний m^* раз.

Отношение числа появлений m^* событие А к общему числу испытаний n называется относительной частотой события А .

При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, то есть при считаем, что , это число называется вероятностью события А в статистическом смысле.

Под вероятностью события в статистическом смысле понимается число, к которому стремится относительная частота этого события при неограниченно увеличивающемся числе испытаний.

Таким образом, при фактически проведенных испытаниях и полученных исходах можно рассчитать вероятность какого-либо события через относительную частоту этого появления.

Пример 13.

В приемную комиссию было подано абитуриентами 2035 заявлений, из них 585 заявлений было подано абитуриентами – юношами. Так как общее число поданных заявлений (n=2035) достаточно велико, то относительную частоту подачи документов о приеме в институт абитуриентами - юношами можно принять за вероятность подачи заявления о приеме в институт юношами: .

Часть II. Элементы теории случайных величин

§1. Понятия случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Предположим,что в некоторой партии из 1000 изделий забраковано 9 изделий, в другой такой же партии – забраковано 11 изделий, в третьей – 10 изделий, в четвёртой – 15 изделий и т. д. Число бракованных изделий m меняется от партии к партии случайным образом и существует определённая вероятность появления m бракованных изделий в наугад выбранной партии из n изделий: P=m/n. Количество бракованных изделий (величина m) является примером случайной величины .

Случайная величина - это величина, значение которой изменяется случайным образом от одного испытания к другому, причём каждое из значений реализуется с той или иной вероятностью.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

В приведённом примере речь шла как раз о дискретных случайных величинах, значения которых образуют дискретный набор чисел.

Примером непрерывной случайной величины может служить значение роста или веса новорожденных,которые могут принимать любые значения в некотором интервале.

Cлучайные величины обозначают обычно прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например X, Y,…; их возможные значения соответствующими строчными буквами: x₁, x₂,..., x_n; y₁, y₂,..., y_n; вероятности случайных величин - буквами P с соответствующими индексами: p₁ = P(x₁), p₂ = P(x₂),..., p_n = P(x_n).

Так как в результате испытания случайная величина X всегда примет одно из всех возможных значений x₁, x₂,..., x_n, то случайные события образуют полную группу событий и р₁ + р₂ + ... + р_n = 1 (условие нормировки).

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения случайной величины.

Дискретная случайная величина считается заданной,если перечислены все её возможные значения и их вероятности.

Закон распределения может быть задан рядом распределения, который представляют в виде таблицы или графика (рис.1.). Ряд может быть как конечным, так и бесконечным.

X	X1	X2	...	Xn
P	P1	P2	...	Pn

Рис.1. Этот график называется кривой (ломаной) распределения.