§2. Основные теоремы теории вероятностей

Т1 Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Р(А или В)=Р(А)+Р(В)

Иначе:

Вероятность суммы равна сумме вероятностей.

Дано:

• n-общее число возможных элементарных событий,

• m_А - число исходов, благоприятствующих появлению события А,

• m_B - число исходов, благоприятствующих появлению события В,

• m=m_А+mB - число исходов, благоприятствующих появлению либо события А, либо cобытия В,

• - вероятность появления события А,

• - вероятность появления события В,

• - вероятность появления либо события А, либо события В.

Доказательство:

Пример 5.

В ящике 20 шаров: 5 cиних, 7 красных, 8 белых. Какова вероятность появления цветного шара?

Cобытие (Ц)-появление цветного,т.е. красного (К) или синего (С) шара, значит Ц=К+С.

P(К)=7/2, Р(С)=5/20=1/4, значит

Р(Ц)=7/20+5/20=12/20=3/5=0,6=60%

С.1.1.Вероятность наступления одного из нескольких А₁, А_{2, …} А_n попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ +…+ A_n) = P(A₁) + P(A₂) +…+ P(A_n)

С.1.2.Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу событий, равна единице:

P(A₁) + P(A₂) +…+ P(A_n) = 1

Т2.Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению вероятности этих событий.

P(A * B) = P(A) * P(B).

Иначе: Вероятность произведения равна произведению вероятностей.

С.2.1.При независимых событиях А₁, А_2,,…, А_n вероятность их произведенияя равна произведению соответствующих вероятностей:

P(A A  … A ) = P(A ) P(A ) … P(A )

Пример 6.

Медицинская сестра обслуживает 4 палаты. Вероятность того, что в течение часа последует вызов сестры в первую палату P(1) = 0,2; во вторую палату P(2) = 0,3; в третью палату P(3) = 0,1; в четвертую палату P(4) = 0,25 . Какова вероятность того, что в течение часа последуют вызовы во все четыре палаты?

P(1*2*3*4) = P(1) * P(2) * P(3) * P(4) = 0,2 * 0,3 * 0,1 * 0,25 = 0,0015

С.2.2. Вероятность осуществления хотя бы одного из событий A , A , … A , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

Т3 Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Р(А или В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Доказательство этой теоремы можно проиллюстрировать исходя из геометрической интерпретации. На рисунке:

• n-общее число всевозможных элементарных событий,

• m_А - число исходов, благоприятствующих появлению события А,

• m_B - число исходов, благоприятствующих появлению события В,

• к – число исходов, благоприятствующих одновременному наступлению событий А и В,

• т огда m=m_А+m_В-к - число исходов, благоприятствующих появлению либо события А, либо cобытия В, т.к. область к в площади фигуры, получающейся пересечением должна учитываться только один раз.

Т4.Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, причем очередность появления этих событий не играет роли:

P(A * B) = P(A) * P(B/А) = Р(В)*Р(А/В).

С.4.1. В случае нескольких зависимых друг от друга событий вероятность их одновременного наступления будет равна произведению вероятности первого события на вероятность всех последующих событий, вычисленную при условии, что все предыдущие события произошли:

Т5. Вероятность события А, которое может осуществиться лишь при условии осуществления хотя бы одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А .

- эта формула называется формулой полной вероятности.

С.5.1.Условная вероятность события в предположении, что событие А имеет место, определяется по формуле Бейеса

Вероятности, вычисляемые по формуле Бейеса часто называют вероятностями гипотез. Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез, принятые до испытания, по результатам уже проведенного испытания.