5. Сполучення з повтореннями та без повторень

 Сполучення без повторень - це всі можливі комбінації (групи) з n різних елементів по m в кожній групі (m ≤ n), які відрізняються один від одного тільки складом елементів (групи відрізняються один від одного хоча б одним елементом). С = n! / m! (n - m)!

 Сполучення з повтореннями - це всі можливі комбінації (групи) з n різних елементів по m кожній групі (m - будь-яке), причому допускається повторення одного елементу кілька разів (групи відрізняються один від одного хоча б одним елементом) С = (n + m - 1)! / M! (n-1)!

6. Біном Ньютона

Біно́м Нью́тона — це вираз вигляду (a+b)n. Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. В шкільній програмі вивчається формула бінома Ньютона із степенями n=2 та 3:

Спробуємо розкласти (a+b)n в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді добутку, пронумерувавши дужки:

Кожний доданок містить n множників: k множників a і (n-k) множників b, тобто має вигляд akbn-k, де k≤n, k≥0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків рівно стільки, скільки таких підмножин. В комбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається або . Отже,

7. Відношення, бінарні відношення. Основні операції з відношеннями.

Відношенням в теорії множин називається підмножина декартового степеня Mⁿ деякої множини M. Кажуть також, що елементи a₁,a₂,...,a_n∈M знаходяться у відношенні R, якщо кортеж (a₁,a₂,...,a_n)∈R.

Бінарне відношення (бінарне відношення на множині) — в математиці окремий випадок відношення на множині, яке встановлюється між двома елементами множини.

Кажуть також, що елементи a,b ∈ M знаходяться у бінарному відношенні R (часто записують у вигляді aRb), якщо впорядкована пара (a,b) ∈ R. Отже, R є підмножиною декартового квадрата: R ⊆ M×M.

Іноді розрізняють поняття бінарного відношення на множині та бінарного відношення між множинами, яке в цій енциклопедії називається відповідністю між множинами.

Операції з відношеннями

Оскільки відношення на M є також множинами, то над ними дозволені теоретико-множинні операції. Наприклад:

перетином бінарних відношень "більше або дорівнює" і "менше або дорівнює" є відношення "дорівнює",об’єднанням відношень "менше" і "більше" є відношення "не дорівнює",

доповненням відношення "ділиться на" є відношення "не ділиться на" тощо.

8. Спеціальна бінарні відношення (рефлексивні, іррефлексивні, симетричні, транзитивні, антисиметричні, асиметричні)

Бінарне відношення (бінарне відношення на множині) — в математиці окремий випадок відношення на множині, яке встановлюється між двома елементами множини.

Кажуть також, що елементи a,b Є M знаходяться у бінарному відношенні R (часто записують у вигляді aRb), якщо впорядкована пара (a,b) Є R. Отже, R є підмножиною декартового квадрата: R Є M×M.

Іноді розрізняють поняття бінарного відношення на множині та бінарного відношення між множинами, яке в цій енциклопедії називається відповідністю між множинами.

Нехай R — деяке відношення на множині M. Відношення R називається

рефлексивним, якщо для всіх aЄM має місце aRa.

антирефлексивним (іррефлексивним), якщо для жодного aЄM не виконується aRa.

симетричним, якщо для всіх a,b ЄM таких, що aRb маємо bRa.

асиметричним, якщо для всіх a,bЄM таких, що aRb не виконується bRa.

антисиметричним, якщо для всіх a,bЄM таких, що aRb і bRa маємо a = b.

транзитивним, якщо зі співвідношень aRb і bRc випливає aRc.

повним, якщо для будь-яких a,bЄM випливає, що aRb або bRa.

Якщо відношення R має будь-яку з перерахованих вище властивостей, то обернене відношення R−1 також має ту саму властивість. Таким чином, операція обернення зберігає всі ці властивості відношень.

Відношення, яке є рефлексивним, симетричним та транзитивним, називається відношенням еквівалентності.

Відношення, яке є рефлексивним, антисиметричним та транзитивним, називається відношенням часткового порядку.

Відношення часткового порядку, яке є повним, називається відношенням лінійного порядку (чи лінійним порядком).