Практическая работа № 4 транспортные задачи
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: овладеть методикой построения опорных планов транспортных задач, и их оптимизации.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. В общем виде транспортные задачи записываются и решаются в виде таблицы:
Пункт отправления |
Пункты назначения |
Количество прибывающих туристов |
|||
В1 |
В2 |
… Вj |
…Вn |
||
А1 |
c11 x11 |
c12 x12 |
c1j x1j |
c1n x1n |
a1 |
А2 |
c 21 x21 |
c 22 x22 |
c 2j x2j |
c 2n x2n |
а2 |
…Аj |
c i1 x i1 |
c i2 x i2 |
c ij x ij |
c in x in |
…ai |
…Аm |
c m1 x m1 |
c m2 x m2 |
c mj xmj |
c mn x mn |
…am |
Количество мест размещения |
b1 |
b 2 |
…bj |
…bn |
∑bj = ∑ai |
cij – тарифы на перевозку ( стоимость билета), xij – количество перевозимых пассажиров.
К задачам закрытого типа относятся такие, у которых суммарное количество прибывающих туристов равно суммарному количеству мест размещения: ∑ai = ∑bj.
К задачам открытого типа относятся такие, у которых: ∑ai ≠ ∑bj.
Чтобы решить транспортную задачу открытого типа, необходимо:
1. Если ∑ai > ∑bj, то вводится дополнительный фиктивный столбец " j+1 " с потребностью bj+1 =∑ai - ∑bj. Чтобы задача не изменилась, тарифы в фиксированном столбце приравниваются к 0, то есть: ci( j+1) = 0.
2. Если ∑ai < ∑bj, то вводится дополнительная фиктивная строка "i+1" c запасом ai+1 = ∑bj - ∑ai. Чтобы задача не изменилась, тарифы в фиктивной строке приравниваются к 0, то есть c( i+1)j = 0.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
С четырех вокзалов необходимо доставить прибывших туристов в три гостиницы. Данные о количестве туристов и мест в гостиницах приведены в табл. 1.
Таблица 1 |
|
Таблица 2 |
|||||||||
Вокзалы |
Гостиницы |
Кол-во туристов |
Вокзалы |
Гостиницы |
Кол-во туристов |
||||||
В1 |
В2 |
В3 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|||||
А1 |
3 |
8 |
9 |
50 |
А1 |
3 |
8 |
9 |
0 |
50 |
|
А2 |
10 |
15 |
8 |
60 |
А2 |
10 |
15 |
8 |
0 |
60 |
|
А3 |
7 |
6 |
4 |
40 |
А3 |
7 |
6 |
4 |
0 |
40 |
|
А4 |
3 |
2 |
3 |
30 |
А4 |
3 |
2 |
3 |
0 |
30 |
|
Кол-во мест |
25 |
40 |
30 |
95 |
Кол-во мест |
25 |
40 |
30 |
85 |
180 |
|
180
Приводим задачу к "закрытому" типу, то есть когда ∑ai > ∑bj, вводим дополнительный столбец (табл. 2.)
Опорный план в транспортных задачах можно составить с помощью метода "северо-западного" угла и (или) метода "минимального элемента".
Метод «северо-западного угла» Таблица 3,а
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4
|
Кол-во туристов |
А1 |
3 25 |
8 25 |
9
|
0
|
50 |
А2 |
10
|
15 15 |
8 30 |
0 + 15 |
60 |
А3 |
7
|
6
|
4
|
0 40 |
40 |
А4 |
3
|
2 + |
3
|
0 30 |
30 |
Кол-во мет |
25 |
40 |
30 |
85 |
180 |
Заполнение таблицы 3,а начинают с верхней левой клетки (то есть северо-западной клетки). Из оставшихся снова выбирают северо-западную и так далее. Число заполненных клеток должно быть равно (m + n)–1. Если получается количество клеток меньше заполненных, то необходимо из рассмотрения вывести столбец (строку) с равным количеством мест и туристов. Задача решается без этого столбца (строки). На втором шаге он вводится обратно. Таким образом "разбивается" доставка.
Метод минимального элемента. Таблица 3,б
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4
|
Кол-во туристов |
А1 |
3
|
8
|
9
|
0 50 |
50 |
А2 |
10 15 |
15 10 |
8
|
0 35 |
60 |
А3 |
7 10 |
6
|
4 30 |
0
|
40 |
А4 |
3
|
2 30 |
3
|
0
|
30 |
Кол-во мест |
25 |
40 |
30 |
85 |
180
|
Заполнение таблицы 3,б начинают с клетки с минимальным тарифом. Если таких тарифов несколько, то выбирают любую клетку, и таким образом поступают на любом последующем шаге. Число заполненных клеток должно быть равно (m + n) – 1.
Определяем стоимость плана (см. табл. 3,а и 3,б). Для этого составим матрицу решения:
А
(4x4)
=
Sa=
740 руб.
B(4x4)
=
Sb = 550 руб.
Дальнейший расчет производим по результатам, полученным любым из методов. Возьмем за основу опорный план, полученный методом Северо-западного угла.
Проверяем методом потенциалов, является ли опорный план оптимальным.
Теорема: если для некоторого опорного плана X (xij), i = 1,…m; j = 1,…n; существуют такие числа α1, α2…αm и β1, β2…βn, что βj – αi = сij при xij >0 и βj – αi ≤ сij при xij = 0, то план X является оптимальным:
αi – потенциал пунктов отправления;
βj – потенциалы гостиниц.
Для каждой незаполненной клетки определяется потенциал zij;
βj – αi – сij = zij.
Опорный план не является оптимальным, если существует положительный потенциал (не использованный).
Оптимизацию проводят по самому большому утерянному потенциалу.
Для нашего примера опорный план не является оптимальным, так как z31 =3; z32 = 9; z33 = 4; z41 = 7; z42 = 13; z43 = 5.
Для клетки с максимальным потенциалом z42 выделяем контур пересчета (см. табл. 3,а) и получаем новый опорный план (табл. 4).
Для клетки (z42) необходимо выделить контур (цикл) пересчета.
К онтур пересчета – замкнутая ломаная линия, которая начинается в клетке zij > 0 → max. Все точки перегиба контура должны находиться в заполненных клетках, и иметь угол поворота 900. Формальное пересечение не является точкой контура. Каждой вершине контура поочередно присваивают знак «+» и «–». Должно соблюдаться условие: количество « + » равно количеству «–».
Таблица 4
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Кол-во туристов |
А1 |
3 25 |
8 25 |
9
|
0
|
50 |
А2 |
10
|
15
|
8 30 |
0 30 |
60 |
А3 |
7
|
6
|
4
|
0 40 |
40 |
А4 |
3
|
2 15 |
3
|
0 15 |
30 |
Кол-во мест |
25 |
40 |
30 |
85 |
180 |
В данную свободную клетку (zij > 0 max) переносят xij min из стоящих в « - » клетках. В целях соблюдения баланса перевозок одновременно это число прибавляют к xij, стоящему в « + » клетках и вычитают из xij, стоящего в « - » клетках. После этого получаем новый опорный план, для которого существует матрица решения.
Данный, новый опорный план необходимо проверить на оптимальность, то есть повторить методику с пункта 2 и далее.
ЗАДАНИЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ.
Необходимо составить план-график доставки туристов из аэропорта в гостиницы (Вj, j=1-). В распоряжении турфирмы есть несколько автобусов (Ai, i=1)
Варианты заданий
1 2
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Кол.тур. |
|
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Кол.тур. |
А1 |
3 |
9 |
7 |
5 |
50 |
|
А1 |
3 |
5 |
6 |
7 |
50 |
А2 |
4 |
2 |
6 |
8 |
50 |
|
А2 |
9 |
10 |
1 |
2 |
30 |
А3 |
1 |
2 |
3 |
5 |
50 |
|
А3 |
5 |
7 |
9 |
8 |
50 |
Кол. мест |
40 |
40 |
120 |
100 |
|
|
Кол. мест |
50 |
30 |
120 |
50 |
|
3 4
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
2 |
3 |
8 |
9 |
50 |
|
А1 |
4 |
5 |
6 |
3 |
40 |
А2 |
4 |
5 |
1 |
2 |
20 |
|
А2 |
7 |
8 |
9 |
4 |
50 |
А3 |
6 |
7 |
3 |
4 |
30 |
|
А3 |
10 |
1 |
2 |
5 |
10 |
|
50 |
120 |
30 |
50 |
|
|
|
20 |
30 |
110 |
40 |
|
5 6
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
8 |
7 |
6 |
5 |
60 |
|
А1 |
3 |
4 |
9 |
10 |
50 |
А2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
50 |
|
А2 |
5 |
6 |
1 |
2 |
20 |
А3 |
10 |
9 |
7 |
8 |
50 |
|
А3 |
7 |
8 |
3 |
4 |
40 |
|
150 |
100 |
30 |
20 |
|
|
|
140 |
40 |
40 |
40 |
|
7 8
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
60 |
|
А1 |
8 |
5 |
9 |
7 |
70 |
А2 |
10 |
8 |
7 |
6 |
60 |
|
А2 |
4 |
6 |
10 |
9 |
70 |
А3 |
3 |
2 |
1 |
5 |
50 |
|
А3 |
3 |
7 |
8 |
9 |
60 |
|
65 |
135 |
50 |
50 |
|
|
|
60 |
140 |
40 |
60 |
|
9 10
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
3 |
6 |
9 |
1 |
60 |
|
А1 |
3 |
4 |
1 |
5 |
60 |
А2 |
4 |
7 |
10 |
2 |
60 |
|
А2 |
8 |
3 |
3 |
6 |
60 |
А3 |
5 |
8 |
11 |
3 |
60 |
|
А3 |
9 |
2 |
4 |
7 |
50 |
|
200 |
150 |
250 |
100 |
|
|
|
100 |
120 |
80 |
100 |
|
11 12
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
7 |
8 |
3 |
4 |
60 |
|
А1 |
4 |
8 |
7 |
6 |
60 |
А2 |
9 |
10 |
5 |
6 |
60 |
|
А2 |
5 |
3 |
2 |
1 |
40 |
А3 |
1 |
2 |
9 |
10 |
40 |
|
А3 |
9 |
10 |
10 |
3 |
40 |
|
80 |
120 |
60 |
40 |
|
|
|
50 |
50 |
50 |
50 |
|
13 14
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
8 |
4 |
5 |
6 |
60 |
|
А1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
50 |
А2 |
3 |
2 |
1 |
4 |
50 |
|
А2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
20 |
А3 |
5 |
8 |
9 |
10 |
60 |
|
А3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
60 |
|
50 |
50 |
50 |
50 |
|
|
|
100 |
150 |
100 |
150 |
|
15 16
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
8 |
4 |
2 |
9 |
60 |
|
А1 |
7 |
4 |
1 |
4 |
40 |
А2 |
7 |
5 |
1 |
8 |
40 |
|
А2 |
6 |
3 |
2 |
5 |
50 |
А3 |
6 |
3 |
10 |
7 |
10 |
|
А3 |
5 |
2 |
3 |
6 |
60 |
|
50 |
100 |
80 |
70 |
|
|
П |
110 |
40 |
50 |
50 |
|
17 18
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
8 |
7 |
2 |
1 |
50 |
|
А1 |
3 |
4 |
9 |
10 |
60 |
А2 |
6 |
5 |
2 |
3 |
40 |
|
А2 |
5 |
6 |
11 |
2 |
50 |
А3 |
4 |
3 |
4 |
5 |
50 |
|
А3 |
7 |
8 |
3 |
4 |
80 |
|
40 |
40 |
50 |
50 |
|
|
|
50 |
50 |
50 |
50 |
|
19 20
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
9 |
7 |
6 |
3 |
50 |
|
А1 |
8 |
9 |
7 |
1 |
70 |
А2 |
5 |
4 |
3 |
5 |
50 |
|
А2 |
6 |
4 |
3 |
2 |
40 |
А3 |
2 |
1 |
3 |
6 |
50 |
|
А3 |
2 |
1 |
3 |
3 |
70 |
|
120 |
40 |
30 |
60 |
|
|
|
40 |
60 |
25 |
25 |
|
21 22
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
8 |
8 |
7 |
1 |
30 |
|
А1 |
3 |
4 |
3 |
4 |
60 |
А2 |
6 |
5 |
5 |
2 |
60 |
|
А2 |
5 |
2 |
8 |
5 |
60 |
А3 |
3 |
3 |
2 |
3 |
10 |
|
А3 |
9 |
1 |
3 |
6 |
40 |
|
40 |
40 |
110 |
10 |
|
|
|
100 |
100 |
50 |
50 |
|
23 24
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
7 |
9 |
10 |
8 |
60 |
|
А1 |
3 |
5 |
9 |
4 |
50 |
А2 |
1 |
1 |
2 |
9 |
20 |
|
А2 |
10 |
1 |
2 |
5 |
30 |
А3 |
4 |
5 |
6 |
10 |
60 |
|
А3 |
4 |
5 |
6 |
6 |
60 |
|
60 |
60 |
60 |
60 |
|
|
|
50 |
35 |
35 |
50 |
|
25 26
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
2 |
5 |
8 |
2 |
80 |
|
А1 |
3 |
6 |
9 |
3 |
60 |
А2 |
3 |
6 |
9 |
3 |
50 |
|
А2 |
4 |
7 |
10 |
5 |
50 |
А3 |
4 |
7 |
10 |
4 |
50 |
|
А3 |
5 |
8 |
1 |
10 |
40 |
|
140 |
60 |
80 |
100 |
|
|
|
100 |
50 |
120 |
25 |
|
27 28
. |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
3 |
8 |
2 |
7 |
55 |
|
А1 |
8 |
7 |
4 |
9 |
45 |
А2 |
4 |
10 |
3 |
1 |
65 |
|
А2 |
3 |
2 |
1 |
11 |
60 |
А3 |
5 |
1 |
4 |
5 |
40 |
|
А3 |
10 |
3 |
5 |
10 |
35 |
|
50 |
60 |
50 |
140 |
|
|
|
10 |
30 |
25 |
25 |
|
29 30
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
3 |
4 |
5 |
11 |
30 |
|
А1 |
8 |
4 |
5 |
5 |
60 |
А2 |
6 |
8 |
7 |
3 |
50 |
|
А2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
50 |
А3 |
7 |
9 |
8 |
7 |
70 |
|
А3 |
4 |
5 |
6 |
4 |
20 |
|
70 |
30 |
125 |
25 |
|
|
|
100 |
200 |
150 |
150 |
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Какие существуют методы для решения транспортной задачи?
Какие задачи называются открытыми, закрытыми?
Как привести задачу к закрытому типу?
Какой план называется оптимальным?
Почему в фиктивном столбце тарифы равны 0?
Что такое контур пересчета?
Назовите несколько условий для построения контура пересчета?