Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции

Вертикальные

Если или не существует или равны , то график функции наклонных асимптот не имеет

Наклонные

Горизонтальные

или

1 Левосторонняя вертикальная асимптота

2 Правосторонняя вертикальная асимптота

3 Так же существуют горизонтальные асимптоты левые и правые

Найти асимптоты графиков функций

5.1

Так как в точках функция претерпевает бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальные асимптоты : (рис.2)

Для отыскания наклонной асимптоты найдем следующие пределы:

Таким образом, существует наклонная асимптота (рис.2)

у

0 х

Рис.2

5.2

 Так как функция не имеет бесконечных разрывов, то вертикальных асимптот нет. Функция определена в интервале , поэтому для отыскания наклонных асимптот, рассматривается предел только при .

Находим: .

Так как , то делаем вывод, что наклонных асимптот нет

5.3

 Так как в точках функция претерпевает бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальные асимптоты : .

Значения функции в точке рассматриваются только слева, то прямая называется левая вертикальная асимптота, в точке только справа , то прямая – правая вертикальная асимптота.

Для отыскания наклонной асимптоты найдем следующие пределы:

/

.

Таким образом, имеется асимптота – горизонтальная асимптота

5.4 Составить уравнения асимптот графика функции .Схематично построить чертеж

 1 Найдем :

. По аналитическому заданию функции можно определить, что , т.е. график функции проходит только над осью ОХ.

Так как , то прямая – правая вертикальная асимптота.

Определим, существуют ли наклонные асимптоты?

Находим:

.

Таким образом существует правая наклонная асимптота ;

(выполните вычисления предела самостоятельно).

Итак, существует левая наклонная асимптота (рис. 3)

Рис. 3

Выполните самостоятельно

Найдите асимптоты графиков функций

5.5 . Ответ: .

5.6 . Ответ: .

5.7 . Ответ: .

5.8 . Ответ:

6 Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции

Определение Функция называется возрастающей в интервале , если для любых двух точек и , из указанного интервала таких, что выполняется неравенство

Определение Функция называется убывающей в интервале , если для любых двух точек и , из указанного интервала таких, что выполняется неравенство

Достаточные признаки возрастания и убывания функции

1⁰ Если для любого , то функция возрастает в интервале .

2⁰ Если для любого , то функция убывает в интервале .

Точки, которые разделяют промежутки монотонности функции, называются точками экстремума функции.

Различают точки максимума и точки минимума функции.

Определение Точка называется точкой максимума функции , если есть наибольшее значение функции в некоторой окрестности точки

Определение Точка называется точкой минимума функции , если есть наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки

Необходимое условие экстремума

Если функция в точке имеет экстремум, то или не существует.

Точка , в которой или не существует называется критической (стационарной) точкой.

Замечание Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточные условия экстремума

1⁰ Если – критическая точка функции и при переходе через производная меняет знак с + на –, то функция в точке имеет максимум, если же с – на +, то функция в точке имеет минимум.

2⁰ Если при переходе через точку производная не меняет знак, то функция в точке экстремума не имеет.

Алгоритм исследования функции на монотонность, точки экстремума

1⁰ Вычисляем

2⁰ Находим критические точки функции . Приравниваем производную к нулю: , и находим все действительные корни полученного уравнения: и точки, в которых производная не существует

3⁰ Отмечаем критические точки на числовой прямой

4⁰ Определяем знак производной на каждом из полученных интервалов (непосредственной подстановкой произвольного значения из каждого интервала в найденную производную). Делаем вывод о поведении функции, используя признаки монотонности

5⁰ Устанавливаем точки максимума и минимума функции, используя достаточные условия экстремума. Находим максимальные и минимальные значения функции в найденных точках

Исследовать функции на монотонность. Найти максимальные и минимальные значения функции.

6.1

 1⁰

2⁰

3⁰

4⁰ Так как функция нечетная (3.1), то знак производной достаточно исследовать на интервалах от 0 до и воспользоваться свойствами нечетной функции.

На интервале , возьмем любое , например , и подставим в производную Получили , следовательно функция возрастает на интервале

Условные обозначения: - возрастает, - убывает.

Аналогично установим:

– возрастает,

– убывает.

Схематично покажем на числовой прямой (п. 3⁰ ).

5⁰ Замечаем, что при переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+». Это означает, что в точке функция имеет минимум (на основании достаточного условия существования экстремума).

Найдем . Значит, точка минимума .

Аналогично устанавливаем, в точке функция имеет максимум, .

Значит, точка максимума

6.2

 1⁰ .

2⁰

3⁰

4⁰ Исследуем знак производной на каждом из полученных интервалов и схематично изобразим на рисунке (3⁰).

5⁰ В точке функция имеет минимум,

. Точка минимума

6.3

 1⁰ ,

2⁰ следовательно точек, в которых не существует. Найдем точки, в которых .

3⁰

4⁰ Устанавливаем знак производной на каждом из полученных интервалов.

5⁰ Замечаем, что на всей области определения производная функции положительная, значит она возрастает на всей области определения. Точек экстремума не имеет.