2 Исследование функции на четность и нечетность
Определение Числовое множество
Х называется симметричным относительно
точки 0, если для любого
существует
В противном случае множество называется не симметричным относительно точки 0.
Н
апример:
Множества симметричные относительно точки 0.
Определение Функция называется четной, если выполняются условия:
-
– множество симметричное относительно
точки 0;
-
Замечание Если функция четная, то для дальнейшего исследования функции и построения графика используются свойства четной функции:
четная функция на симметричных интервалах сохраняет знакопостоянство;
четная функция на симметричных интервалах меняет монотонность;
график четной функции симметричен относительно оси ординат.
Определение Функция
называется нечетной, если выполняются
условия:
- – множество симметричное относительно точки 0;
-
Замечание 3 Если функция нечетная, то для дальнейшего исследования функции и построения графика используются свойства нечетной функции:
нечетная функция на симметричных интервалах меняет знакопостоянство;
нечетная функция на симметричных интервалах сохраняет монотонность;
график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Определение Функция называется ни четной, ни нечетной (общего вида), если выполняются условия:
- – множество симметричное относительно точки 0;
-
Замечание Если область определения функции множество не симметричное относительно точки 0, то функция ни четная ни нечетная.
В этом функцию называют, функцией общего вида.
Исследовать функции на четность и нечетность.
2.1
, замечаем, что область определения множество симметричное относительно точки 0 (определение 1).
Найдем
,
делаем вывод, что функция нечетная
(определение 3).
2.2 
– множество не симметричное относительно точки 0, т.е. функция ни четная ни нечетная (замечание 4).
2.3
- множество не симметричное относительно точки 0, т.е. функция ни четная ни нечетная
2.4 
Найдем область определения функции:
– множество симметричное относительно
точки 0.
Найдем
,
делаем вывод, что функция четная
(определение 2).
2.5 
Найдем область определения функции:
,
– множество симметричное относительно
точки 0.
Найдем
,
делаем вывод, что функция ни четная ни
нечетная (определение 4 ).
Выполните самостоятельно
Исследовать функцию на четность и нечетность
2.6 
Ответ:
нечетная
2.7 
Ответ: четная
2.8 
Ответ: ни
четная ни нечетная
2.9 
Ответ: ни
четная ни нечетная
3 Точки пересечения с осями координат
Для
того, чтобы найти точки пересечения
графика функции
с осью абсцисс,
(нули функции), нужно решить систему:
Аналогично с осью ординат,
:
Найти точки пересечения графика функции с осями координат
3.1 
С осью OX:
Получили точку
.
С осью OY:
Получили точку
3.2
С осью OX:
Получили точки:
.
С осью OY:
Получили точку
4.3
С осью ОХ:
Получили точку
С осью OY: точка не входит в область определения, значит график функции ось OY не пересекает