Геометрический смысл углового коэффициента уравнения прямой.

РИС.4а РИС.4в

ЕСЛИ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ , то угол наклона прямой к оси ОХ тупой ( РИС.4а).

ЕСЛИ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ , то угол наклона прямой к оси ОХ острый (рис.4в).

ЕСЛИ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ , ТО ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНА.

ПРИМЕР 1.2 ИСПОЛЬЗУЯ ЭСКИЗЫ ГРАФИКОВ, ПРИВЕДЁННЫХ НА РИС .4 ПРИБЛИЖЁННО ВЫЧИСЛИТЬ УГЛЫ НАКЛОНА ПРЯМЫХ К ОСИ ОХ.

РЕШЕНИЕ. РАССМОТРИМ РИС.4а. ДАННАЯ ПРЯМАЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ . ПО ФОРМУЛЕ (1.1) ВЫЧИСЛЯЕМ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ . ТАК КАК , ,

ТО, ИСПОЛЬЗУЯ КАЛЬКУЛЯТОР, НАХОДИМ ТУПОЙ УГОЛ

РАССМОТРИМ РИС. 4в. ДАННАЯ ПРЯМАЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ . ПО ФОРМУЛЕ (1.1) ВЫЧИСЛЯЕМ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ . ТАК КАК , ТО, ИСПОЛЬЗУЯ КАЛЬКУЛЯТОР НАХОДИМ ОСТРЫЙ УГОЛ .

Правило 1.2.

ДВЕ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА ЕСЛИ ИХ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ РАВНЫ .

ЕСЛИ ( НЕВЕРТИКАЛЬНАЯ И НЕГОРИЗОНТАЛЬНАЯ) ПРЯМАЯ ИМЕЕТ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ НАКЛОНА , ТО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К НЕЙ ПРЯМАЯ ИМЕЕТ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ НАКЛОНА .

Доказательство. ПУНКТ а) ПРАВИЛА ОЧЕВИДЕН. СТОИТ ТОЛЬКО НАРИСОВАТЬ ДВЕ ПРЯМЫЕ С ОДИНАКОВЫМ УГЛОМ НАКЛОНА К ОСИ ОХ.

B

A

C

Докажем ) ПУСТЬ ПРЯМАЯ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ перпендикулярна прямой С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ . Угловой коэффициент наклона прямой : равен , а угловой коэффициент наклона прямой : . В любом треугольнике всякий внешний угол равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним. Отсюда внешний угол равен . Поэтому угловой коэффициент наклона прямой равен :

Пункт в) доказан.

СЛЕДУЮЩЕЕ ПРАВИЛО ПОЗВОЛЯЕТ ВЫЧИСЛЯТЬ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ.

ПРАВИЛО 1.3 . ОБОЗНАЧИМ ОСТРЫЙ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ

И ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ . ТОГДА СПРАВЕДЛИВА ФОРМУЛА: (1.3)

Д

A

B

C

D

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. В ЛЮБОМ ВСЯКИЙ ВНЕШНИЙ УГОЛ РАВЕН СУММЕ ДВУХ ВНУТРЕННИХ НЕ СМЕЖНЫХ С НИМ. ОБОЗНАЧИМ ; СЛЕДОВАТЕЛЬНО ( СМ. РИС.6) . ВЫЧИСЛИМ ТАНГЕНС ОТ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ РАВЕНСТВА РИС.6

ЧТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ ОСТРЫЙ УГОЛ НУЖНО ФОРМУЛУ СПРАВА БРАТЬ ПО МОДУЛЮ. ПРАВИЛО 1.3 ДОКАЗАНО.

ПРИМЕР 1.3 ИСПОЛЬЗУЯ ПРАВИЛО 1.2 ДОКАЗАТЬ, ЧТО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, ГДЕ .

РЕШЕНИЕ. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ЭТО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК, У КОТОРОГО ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СТОРОНЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.

ВЫЧИСЛИМ НАКЛОНЫ ПРЯМЫХ , (СМ. РЕШЕНИЕ ПРИМЕРА 3.1)

ТАК КАК , то по теореме 3.1 сторона параллельна стороне . Далее

отсюда следует, что сторона параллельна стороне . Что и требовалось

доказать.

ПРИМЕР 1.4. ВЫЧИСЛИТЬ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ, ИМЕЮЩИМИ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ :

РЕШЕНИЕ. В ПЕРВОМ ПРИМЕРЕ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ , . ТАК КАК

, ТО ПО ПРАВИЛУ 1.2 в) ДАННЫЕ ПРЯМЫЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ.

ВО ВТОРОМ ПРИМЕРЕ , . Тангенс острого угла вычисляем по формуле(1.3)

В ТРЕТЬЕМ ПРИМЕРЕ .