Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Занятие 1.

Прямая линия на плоскости.

Одной из важных задач в математике является задача определения положения точки.Эта задача решается разными способами. Один способ хорошо известен из школьной программы. Это определение положения точки с помощью декартовой системы координат.

Для этого на плоскости фиксируются две взаимно перпендикулярные числовые оси. Горизонтальная ось -ось абсцисс и вертикальная ось -ось ординат. Точка пересечения О этих осей называется началом координат. Плоскость, на которой введена система координат называется координатной плоскостью.

M

На координатной плоскости возьмем произвольную точку и проведём через неё прямые параллельные координатным осям. Пересечение прямой с осью даёт нам единственное число , а пересечение прямой с осью даёт нам единственное число .

Обратно, если задана пара чисел , ,то из рис.1 видно, что она определяет единственную точку .

рис.1

Определение 1.1. Упорядоченная пара чисел , определяющая положение точки на плоскости называется прямоугольными декартовыми координатами точки. Число называют абсциссой точки, а число ординатой точки . Произвольную точку на координатной плоскости будем обозначать так . Каждая точка имеет свои координаты и наоборот каждая пара координат задаёт одну определённую точку. Каждое правило теперь может быть сформулировано на двух разных языках:

1) На геометрическом языке и 2)на аналитическом языке (языке координат)

Например, задать точку это значит задать её координаты. Найти точку это значит найти её координаты. Если задавать абсциссу и ординату точки независимо друг от друга, то на координатной плоскости получим хаотичные расположения точек . Если же координаты

и связаны между собой определённым правилом, то меняя их, получаем на плоскости

кривую.

Например, если сумма квадратов координат равна 1

, то получаем окружность. На практике различные расчёты с геометрическими объектами производятся в координатах. Затем, если это нужно, полученные результаты переводятся для наглядности на геометрический язык. На языке координат задать линию значит задать правило связывающее между собой ординату и абсциссу . Такое правило называется уравнением линии в координатной плоскости. Мы начнём изучение линий на координатной плоскости с наиболее простой прямой линии, которая, тем не менее, играет одну из самых важных ролей в математике.

ЦЕЛЬЮ НАШЕГО ЗАНЯТИЯ ЯВЛЯЕТСЯ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОЙ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.

О

Р

ПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. УГОЛ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ ИЗМЕРЯЕТСЯ ПОВОРОТОМ (вокруг точки Р) ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ ОСИ ОХ ДО СОВПАДЕНИЯ С ПРЯМОЙ. РИС.1

РИС.1

ПРАВИЛО 1.1. ЕСЛИ ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ ПРОВЕСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ТО ВСЕ ПОЛУЧЕННЫЕ УГЛЫ БУДУТ РАВНЫ, КАК УГЛЫ С ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТОРОНАМИ, УГЛУ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ. РИС.2.

РИС.2

K

M

M

ПУСТЬ ЗАДАНА ПРОИЗВОЛЬНАЯ НЕВЕРТИКАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ. ВОЗЬМЁМ НА НЕЙ ДВЕ ТОЧКИ. ФИКСИРОВАННУЮ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ И ПЕРЕМЕННУЮ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ . ПРОВЕДЁМ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ПРЯМУЮ, А ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ВЕРТИКАЛЬНУЮ ПРЯМУЮ. ТРЕУГОЛЬНИК ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ. ОТНОШЕНИЕ = . СОГЛАСНО ПРАВИЛУ 1.1 УГОЛ РАВЕН УГЛУ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, КАКУЮ БЫ ТОЧКУ НА ПРЯМОЙ НИ ВЗЯТЬ ВЕЛИЧИНА БУДЕТ ДЛЯ ДАННОЙ ПРЯМОЙ ПОСТОЯННОЙ. ЭТУ ВЕЛИЧИНУ НАЗЫВАЮТ УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ДАННОЙ ПРЯМОЙ И ОБЫЧНО ОБОЗНАЧАЮТ БУКВОЙ

(1.1) Или

(1.2)

ПРИМЕР 1.1 НАЙТИ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ

РЕШЕНИЕ. 1) ПО ФОРМУЛЕ (3.1) ОПРЕДЕЛЯЕМ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ НАКЛОНА ПРЯМОЙ а) .

2) АНАЛОГИЧНО ОПРЕДЕЛЯЕМ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ДРУГОЙ ПРЯМОЙ .

3) УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙ .

ИЗ ПРИМЕРА ВИДНО, ЧТО УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ МОЖЕТ БЫТЬ ЛИБО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ, ЛИБО ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ,

ЛИБО РАВНЫМ НУЛЮ.