Т еорема 2.3

ПУСТЬ НА ОСИ ПЛОСКОСТИ ЗАДАНЫ ФОКУСЫ ЭЛЛИПСА И . ПУСТЬ СУММА РАССТОЯНИЙ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ ЭЛЛИПСА ДО ФОКУСОВ РАВНА 2а. (а ). ТОГДА УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА ИМЕЕТ ВИД

, (2.6)

РИС.6 ГДЕ (2.7)

ЗАМЕЧАНИЕ. ФОКУСЫ ЭЛЛИПСА ЛЕЖАТ НА ОСИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА В УРАВНЕНИИ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4 ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ ЭЛЛИПСА НАЗЫВАЕТСЯ ВЕЛИЧИНА , КОТОРАЯ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ

(2.8)

ТАК КАК У ЭЛЛИПСА , ТО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА ВСЕГДА МЕНЬШЕ ЕДИНИЦЫ.

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА ПОКАЗЫВАЕТ, НАСКОЛЬКО СИЛЬНО СПЛЮЩЕН ЭЛЛИПС.

УПРАЖНЕНИЕ 4.5 ВЫБЕРИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ . ЧЕМ МЕНЬШЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА, ТЕМ ЭЛЛИПС

1) Более сплющен 2) менее сплющен

ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА ЗАДАЮТСЯ УРАВНЕНИЯМИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

(2.9)

ОТНОШЕНИЕ РАССТОЯНИЙ ОТ ТОЧКИ ЭЛЛИПСА ДО ФОКУСА И ДО БЛИЖАЙШЕЙ К НЕМУ ДИРЕКТРИСЫ РАВНО ЧИСЛЕННОМУ ЗНАЧЕНИЮ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА

(2.10)

РИС.7

Теорема 2.4

ЕСЛИ ФОКУСЫ ЭЛЛИПСА РАСПОЛОЖИТЬ НА ОСИ ОУ, ТО ЭЛЛИПС БУДЕТ ИМЕТЬ УРАВНЕНИЕ

, ГДЕ (2.11)

В ФОРМУЛЕ (2.11) .

РИС. 8

ФОКУСЫ ЭЛЛИПСА ЛЕЖАТ НА ОСИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА .

АНАЛОГИЧНО ПРЕДЫДУЩЕМУ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ (2.12)

И ДИРЕКТРИСЫ (2.13)

ПРИМЕР 2.4. В НЕКАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА БОЛЕЕ СЛОЖНОЕ В ЗАПИСИ.

В ДЕКАРТОВОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, КОТОРАЯ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКОЙ, УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА ИМЕЕТ ВИД: В КРИВАЯ ЭЛЛИПСА НЕ СИММЕТРИЧНА ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ. ЕСЛИ НАЧАЛО КООРДИНАТ ПЕРЕМЕСТИТЬ В ТОЧКУ , А ОСИ ПОВЕРНУТЬ СОГЛАСНО РИСУНКУ, ТО В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА СТАНОВИТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ (РИС.9)

РИС.9

Гипербола.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5 ПУСТЬ ДВЕ ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКИ НА ОХУ ПЛОСКОСТИ. ГИПЕРБОЛА- ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК ТАКОЕ, ЧТО РАЗНОСТЬ РАССТОЯНИЙ ЕСТЬ ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА. ТОЧКИ НАЗЫВАЮТСЯ ФОКУСАМИ ГИПЕРБОЛЫ. ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ ФОКУСЫ

НАЗЫВАЕТСЯ ОСЬЮ ГИПЕРБОЛЫ. СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА НАЗЫВАЕТСЯ ЦЕНТРОМ ГИПЕРБОЛЫ.

ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ С ОСЬЮ НАЗЫВАЮТСЯ

Рис.10

ВЕРШИНАМИ ГИПЕРБОЛЫ (РИС.10).

В КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ЦЕНТР СИММЕТРИИ ГИПЕРБОЛЫ РАСПОЛОЖЕН В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ, А ФОКУСЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОХ ИЛИ ОУ. ГИПЕРБОЛА СИММЕТРИЧНА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ КООРДИНАТ.

ПРИМЕР 2.5. НАЙТИ УРАВНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК ДЛЯ КОТОРЫХ РАЗНОСТЬ РАССТОЯНИЙ ОТ ДВУХ ТОЧЕК РАВНА 4.

ДАЛЕЕ ИМЕЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 2.5

УРАВНЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ УРАВНЕНИЕМ ГИПЕРБОЛЫ В КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

Т ЕОРЕМА 2.5. ПУСТЬ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОХ В ТОЧКАХ .

ТОГДА ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО И ЕСЛИ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ГИПЕРБОЛЕ, ТО ОНИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ УРАВНЕНИЮ , (2.14)

ГДЕ (2.15)

Рис.11

В ОТЛИЧИЕ ОТ ПАРАБОЛЫ И ЭЛЛИПСА ГИПЕРБОЛА ИМЕЕТ АСИМПТОТЫ. ЭТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО

ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛЫ, ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ УДАЛЕНИИ ТОЧКИ ГИПЕРБОЛЫ ОТ НАЧАЛА КООРДИНАТ,

ПРАКТИЧЕСКИ НЕОТЛИЧИМА ОТ ПРЯМОЙ ЛИНИИ. УРАВНЕНИЯ АСИМПТОТ ИМЕЮТ ВИД

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ГИПЕРБОЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АНАЛОГИЧНО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТУ ЭЛЛИПСА . НО У ГИПЕРБОЛЫ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ВСЕГДА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ.

ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЗАДАЮТСЯ УРАВНЕНИЯМИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

(2.16)

ТЕОРЕМА 2.6. ПУСТЬ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ ЛЕЖАТ НА ОСИ ОУ В ТОЧКАХ . ТОГДА ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ СЛЕДУЕТ, ЧТО И ЕСЛИ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ЛЕЖАЩЕЙ НА ГИПЕРБОЛЕ, ТО ОНИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ УРАВНЕНИЮ , (2.17)

ГДЕ (2.18)

РИС.12

ГИПЕРБОЛА ИМЕЕТ АСИМПТОТЫ. ЛИНИЯ ГИПЕРБОЛЫ НЕОГРАНИЧЕННО ПРИБЛИЖАЕТСЯ К ПРЯМЫМ ЛИНИЯМ

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ГИПЕРБОЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ АНАЛОГИЧНО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТУ ЭЛЛИПСА . У ГИПЕРБОЛЫ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ВСЕГДА БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ.

ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ (2.19)

ЗАМЕЧАНИЕ. ОБРАЩАЕМ ВНИМАНИЕ ЧИТАТЕЛЯ , ЧТО ПО ВИДУ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ МОЖНО СКАЗАТЬ НА КАКОЙ ОСИ ЛЕЖАТ ФОКУСЫ ГИПЕРБОЛЫ.

ПРИВЕДЁМ ПРИМЕР ЧЕРТЕЖА ГИПЕРБОЛЫ, У КОТОРОЙ УРАВНЕНИЕ НЕ КАНОНИЧЕСКОЕ.

В ДЕКАРТОВОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, КОТОРАЯ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКОЙ, КРИВАЯ ВЫГЛЯДИТ ТАК. ЕСЛИ НАЧАЛО КООРДИНАТ ПЕРЕМЕСТИТЬ В ТОЧКУ , А ОСИ ПОВЕРНУТЬ СОГЛАСНО РИСУНКУ, ТО В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА СТАНОВИТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ (РИС.13)

РИС.13

Кривые в полярных координатах.

Полярные координаты.

Напомним понятие радианной меры угла. В математическом анализе углы определяются с помощью тригонометрической окружности единичного радиуса.

Вершина угла лежит в центре окружности О, а стороны угла опираются на окружность. Одна сторона угла неподвижная (обычно её рисуют горизонтальной). Другая подвижная ( она формирует угол). Если подвижная сторона движется против часовой стрелки, то про такие углы говорят, что они положительно ориентированы. Если движение наоборот, то угол ориентирован отрицательно.

π/3

π/3

π/3

/ В математическом анализе угол измеряется в радианах (обычных числах).

Определение2.6. Радианная мера положительно ориентированного угла даётся формулой

рис.13

(2.20) Приведем формулы, связывающие радианную меру и градусную меру углов. Рассматриваем один и тот же угол. Пусть его радианная мера, а его градусная мера. Тогда имеют место формулы

(2.21)

и

(2.22)

С помощью (2.21.) переводят градусы в радианы. С помощью формулы (2.22.) наоборот.

Пример 2.6. Градусная мера угла равна 45 . Чему равна радианная мера этого угла?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (2.21) .

Пример 2.7. Радианная мера угла равна . Чему равна градусная мера этого угла?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (2.22) .