Міністерство освіти і науки України

Донецький національний університет економіки і торгівлі

імені Михайла Туган-Барановського

Кафедра вищої і прикладної математики

Математичне програмування

Курс лекцій

для студентів напряму підготовки «Менеджмент»

Автори: Щетініна о.К., Шепеленко о.В., Скрипник с.В.

2011

З м і с т

Лекція 1. Приклади задач лінійного програмування……………	3
Лекція 2. Графічний метод……………………………………...…	17
Лекція 3. Симплексний метод………………………………………..	20
Лекція 4. Двоїсті задачі……………………………………………..	26
Лекція 5. Матричні ігри……………………………………………….	28
Лекція 6. Метод потенціалів……………………………………….…	36
Лекція 7. Задачі про призначення…………………………………..	41
Лекція 8. Дробово-лінійне програмування……………………………	45
Лекція 9. Параметричне програмування…………………….……….	51
Використання комп'ютерних технологій для рішення задач математичного програмування ……………………………
Лекція 10. Пакет “The management scientist” ……………………...	56
Лекція 11. Пакет “QSB”…………………………………………..	60

Лекція 1. Приклади задач лінійного програмування

Промислове виробництво, ресурси в економіці, напруга сил у воєнних діях – це комплекси численних взаємопов'язаних процесів. У керуванні цими зовсім різними явищами можна виділити істотні риси подібності. При формулюванні задач оптимізації виявляється, що задачі, різні за змістом, можуть бути представлені однотипними математичними моделями.

Найбільш простою і вивченою є модель лінійного програмування. Вона містить у собі три основних моменти:

• набір невід’ємних змінних, що характеризують досліджуваний процес чи явище;

• співвідношення, що встановлюють зв’язок між змінними (обмеження) і вимоги задачі, що відбивають;

• критерій оптимальності (функцію цілі).

У задачах лінійного програмування обмеження являють собою систему лінійних нерівностей і рівнянь, що виражають умову матеріального балансу (тобто щоб витрата будь-якого виду сировини не перевищувала наявний запас даної сировини і т.д.). Функція цілі теж має лінійний вид.

Перш ніж перейти до розгляду загальної задачі лінійного програмування, розберемо кілька прикладів.

Задача виробничого планування. Припустимо, що на деякому підприємстві мається видів сировини для виробництва видів виробів. Заздалегідь відомі норми витрачання кожного виду сировини на виготовлення одиниці кожного виду виробу. Крім того, відомі запаси кожного виду сировини і доход підприємства від реалізації одиниці виробів кожного виду.

Задача виробничого планування складається у визначенні кількості виробів кожного виду, що повинно виробляти підприємство, щоб витрачання наявної сировини не перевищувало її запасів, а доход підприємства був би якнайбільше, тобто досягав максимуму.

Приймемо такі позначення:

–	число ресурсів (число видів сировини);
–	число видів виробів;
–	запаси сировини -го виду ;
–	доход від продажу -го виробу ;
–	норма витрачання сировини -го виду на виробництво одного виробу -го виду

Дуже зручною формою запису умови задачі є таблиця наступного виду.

Таблиця 1

Види сировини	Норма витрачання -ої сировини на -ий виріб					Запаси сировини
	В и д и в и р о б і в
	1	2	3	…
1				…
2				…
…	…	…	…	…	…	…
				…
Доход				…

За невідомі у задачах лінійного програмування беруть ті величини, які потрібно визначити. У даній задачі:

–	кількість виробів 1-го виду, що повинно зробити підприємство;
–	кількість виробів 2-го виду;
–	кількість виробів 3-го виду;
………………………………………
–	кількість виробів -го виду.

Складемо обмеження.

Якщо на один виріб I виду витрачається першого виду сировини, то на усі вироби I виду сировини піде . На усі вироби II виду цієї ж сировини буде потрібно (тому що на один виріб йде , а усього виробів ). На усі вироби III виду необхідно сировини I виду і т.д., і, нарешті, для виробництва останнього виду виробів сировини I виду буде потрібно . Усього сировини I виду буде витрачено:

+ + + … +

– ця величина складається з витрат сировини I виду по кожному виду продукції. Оскільки запаси обмежені, то ця сума не повинна перевищувати величину запасу по цьому виду сировини (тобто повинна бути менше її чи дорівнювати їй):

+ + … +

Аналогічно для другої сировини: варто врахувати витрачання цієї сировини по усіх виробах кожного виду, а потім знайти сумарну витрату, і ця витрата сировини II виду не повинна перевершувати запаси сировини цього виду. Тим самим одержимо друге обмеження

+ + … +

Провівши подібні міркування для усіх видів сировини, одержимо систему обмежень, що описує дану задачу:

+ + … + ,

+ + … + ,

……………………………………..

+ + … +

Оскільки число виробів будь-якого виду не може бути від’ємним, вимагаємо, щоб усі введені невідомі були більше нуля, або у крайньому випадку, дорівнювали нулю.

Доход, одержуваний від виробництва усіх виробів першого виду, складає ; від виробництва виробів другого виду – і т.д. і від виробництва виробів -го виду він дорівнює . Загальний доход виразиться у виді суми цих величин.

Таким чином, задача полягає в знаходженні таких змінних , котрі задовольняють умовам

, , … , + + … + , + + … + , ……………………………………… + + … + ...

і перетворюють функцію доходу = + +…+ у максимум.

Транспортна задача. Нехай у пунктах виробляється деякий однорідний продукт, причому обсяг виробництва (потужність) у кожнім пункті відомий. Цей продукт споживається в пунктах , при цьому відомий обсяг споживання (попит) для кожного пункту. Передбачається, що сумарна потужність дорівнює сумарному попиту. Припустимо, що транспортування можливе з будь-якого пункту виробництва в кожен пункт споживання, причому транспортні витрати, що приходяться на одиницю продукту, вважаються заданими. (Під транспортними витратами розуміють час перевозу, відстань, вартість).

Транспортна задача полягає в розподілі виробленого продукту так, щоб попит був вдоволений і сумарні транспортні витрати були мінімальними.

Приймемо позначення:

–	число постачальників;
–	число споживачів;
–	загальна кількість одиниць продукту, необхідна -му споживачу ;
–	загальна кількість одиниць продукту, що є в наявності у -ого постачальника ;
–	транспортні витрати, що приходяться на одиницю продукту, під час перевезення з -го пункту в -ий пункт , .

Складемо таблицю. Вона дасть нам більш чітке уявлення про задачу.

Таблиця 2

Пункти виробництва	Об’єм виробництва	Транспортні витрати на один виріб
		Пункти споживання і попит
				……
				…
				…
…	…	…	…	…	…
				…

Особливістю транспортної задачі є наявність великого числа чинників, тому має сенс впроваджувати подвійні індекси. Позначимо через – кількість продукту, перевезеного з першого пункту виробництва в перший пункт споживання, через – кількість продукту, перевезеного з першого пункту виробництва в другий пункт споживання, і т.д., – кількість продукту, перевезеного з у (перший індекс указує номер пункту виробництва, другий – номер пункту споживання). Аналогічно з другого пункту виробництва ми вивеземо

–	у перший пункт споживання;
–	в другий пункт споживання;
………………………………………..
–	у -ий пункт споживання.

Подібно попередньому, для всіх пунктів виробництва оберемо свої змінні. Зокрема, для останнього

– з -го пункту в перший;

– з -го пункту в другий;

……………………………………

– з -го пункту в -ий.

При цьому, як і раніше, перший індекс у змінної вказує номер пункту відправлення, а другий – номер пункту споживання. Тобто означає кількість продукції, перевезеної з п’ятого пункту виробництва в сьомий пункт споживання.

Складемо обмеження. Насамперед врахуємо, що загальний попит дорівнює загальній пропозиції, тобто

.

Виходячи з уведених позначень, одержимо, що величина виражає собою не що інше, як кількість одиниць продукту, вивезеного з першого пункту виробництва в усі пункти споживання. Оскільки продукт, наявний у цьому пункті, повинний бути розподілений цілком без залишку, то, мабуть, ця сума повинна дорівнювати наявному запасу продукту, тобто

.

Міркуючи аналогічно попередньому, одержимо, що величина характеризує кількість одиниць продукту, перевезеного з другого пункту виробництва в усі пункти споживання і т.д.; величина вказує, скільки одиниць продукту вивезене з -го пункту виробництва в усі пункти споживання. І ці величини також повинні узгоджуватися з потужністю відповідного постачальника.

У підсумку одержимо систему, що відображає інтереси постачальників

(1)

Однак ця система ніяк не враховує інтереси споживачів, адже зовсім не байдуже, скільки куди везти. Необхідно задовольнити попит споживачів. З цією метою будемо підраховувати, скільки в який пункт ми веземо від усіх постачальників. Так, у перший пункт ми веземо від першого постачальника , від другого – і т.д. від -го – . Кількість продукту, завезеного від усіх постачальників, повинна збігатися з величиною попиту – обсягу споживання. Подібно цьому, у другий пункт споживання ми перевозимо з першого пункту виробництва, – із другого пункту виробництва і т.д. – з -го пункту виробництва. Сума цих величин повинна дорівнювати обсягу споживання в другому пункті. Такого роду міркування приведуть до того, що в -ий пункт призначення ми перевозимо величину з першого пункту виробництва, – із другого пункту і т.д. – з -го пункту.

Таким чином, нами отримана ще одна система, що відображає інтереси споживачів

(2)

Природно, що усі введені нами змінні не можуть приймати невід’ємних значень, тобто .

Загальні транспортні витрати будуть складатися з витрат, що виникають під час перевезення з кожного пункту виробництва в кожен пункт споживання необхідної кількості одиниць продукту. Сумарні витрати можуть бути виражені за допомогою функції цілі наступного вигляду:

Отже, наша задача полягає в знаходженні таких невід’ємних величин , що задовольняли би системам (1) і (2), а цільова функція була б мінімальною.

Задача про суміші. До цих задач відносяться задачі оптимального складу шихти для виплавки сталі, задачі про суміші продукції, задачі дієти та ін.

Розглянемо задачу дієти. Припустимо, що маються різні харчові продукти. Відома ціна одиниці кожного продукту і кількість життєво необхідних харчувальних речовин в одиниці кожного продукту. Крім того, вважається заданою величина, що виражає щодобову потребу в кожній харчувальній речовині.

Необхідно скласти дієту, що забезпечувала б щодобову потребу організму в кожній живильній речовині при найменшій вартості використовуваних продуктів.

Приймемо наступні позначення:

–	число харчувальних речовин, необхідних організму;
–	число наявних харчових продуктів;
–	мінімальна щодобова потреба в -ої речовині ;
–	ціна одиниці продукту -ого виду ;
–	кількість -их харчувальних речовин в одиниці -го продукту.

Умову задачі запишемо таблицею. Вона буде мати наступний вигляд.

Таблиця 3

Види харчувальних речовин	Вміст харчувальних речовин в одиниці -го продукту				Потреба в харчувальних речовинах
	В и д и п р о д у к т і в
	1	2	…
1			…
2			…
…	…	…	…	…	…
			…
Вартість одиниці продукту -го виду			…

Таблиця в цій задачі по зовнішньому вигляду цілком співпадає із таблицею задачі виробничого планування, однак за змістом задачі не ідентичні. Позначимо через:

–	кількість одиниць першого продукту, що входить у дієту;
–	кількість одиниць другого продукту;
і т.д.
–	кількість одиниць -го продукту.

В одиниці продукту першого виду міститься одиниць першої харчувальної речовини, а у всьому першому продукті цієї речовини буде . Цієї ж харчувальної речовини в одиниці продукту другого виду міститься одиниць, тоді вміст першої харчувальної речовини у всій кількості 2-го продукту виразиться величиною . Обчислюючи величини – кількість першої речовини у всьому продукті третього виду – і т.д., і, нарешті, – кількість речовини першого виду в усьому -ому продукті, ми можемо знайти загальну кількість першої харчувальної речовини, що міститься у всіх продуктах. Вона буде дорівнювати:

.

Нам не байдуже, якою буде ця величина, вона повинна задовольняти щодобову потребу в розглянутій речовині, тобто вона повинна бути не менш щодобової норми. Одержуємо обмеження

.

Розглянемо другу харчувальну речовину. Якщо врахувати вміст цієї речовини у всій кількості першого продукту, другого і т.д., -го продукту, то підсумовуючи окремі значення кількості одиниць другої харчувальної речовини у всіх продуктах кожного виду, одержимо загальну кількість другої харчувальної речовини. Вона, природно, повинна бути не менш щодобової потреби в цій речовині. Одержимо ще одне обмеження. Аналогічно попередньому, можна установити співвідношення між вмістом харчувальної речовини будь-якого виду у всіх продуктах і потребою в цій речовині. У результаті прийдемо до системи обмежень

Величини , що виражають собою кількість продукту відповідно першого, другого і т.д., -го виду, не можуть бути від’ємними. У крайньому випадку деякі з них можуть дорівнювати нулю (це буде означати, що даний продукт не входить у раціон харчування).

Знаючи, що ціна одиниць продукту першого виду дорівнює , можемо обчислити вартість усього першого продукту – вона дорівнює . По тим же розумінням вартість усього другого продукту дорівнює і т.д., вартість -го продукту дорівнює . Сумарна вартість усіх продуктів, що використані у дієті, дорівнює сумі цих усіх вартостей. І задача дієти полягає в знаходженні величин , що задовольняють обмеженням

і дають мінімум цільової функції

.

Основна задача лінійного програмування. Ми розглянули кілька прикладів побудови моделей лінійного програмування. У кожній з цих моделей задача складалася в знаходженні рішення системи лінійних рівнянь чи нерівностей, що мінімізують чи максимізують лінійну цільову функцію.

Основною математичною задачею лінійного програмування називається оптимізація лінійної форми при лінійних обмеженнях. Усі задачі лінійного програмування можна сформулювати тим самим способом, а саме: знайти в невід’ємних числах рішення системи лінійних рівнянь, що мінімізує функцію цілі. Така форма задачі називається канонічною. Іншими словами, знайти , щоб виконувалися обмеження

і мінімізувалася величина

.

При використанні задач лінійного програмування можуть зустрітися випадки:

1. Система обмежень суперечлива, задача не має невід’ємних рішень.

2. Система обмежень має невід’ємні рішення, але максимум (мінімум) функції цілі дорівнює .

3. Максимум (мінімум) цільової функції приймає скінченне значення, система обмежень має невід’ємні рішення.

Для задач лінійного програмування, пов’язаних з реальними практичними проблемами, частіше за все має місце третій випадок.

Значення вважають невід’ємними, у протилежному випадку відповідне рівняння можна помножити на (–1). Крім того, обмеження – нерівності можна представити у формі рівнянь шляхом уведення додаткових змінних; щоб не порушувалася умова невід’ємності, додаткові невідомі беруть зі знаком плюс чи мінус у залежності від того, ліва частина нерівності менше правої чи більше її. Так, наприклад, у задачі виробничого планування в кожне обмеження варто подописувати додаткову змінну, і задача набере вигляду:

Знайти невід’ємні , котрі задовольняють умовам і перетворюють у максимум лінійну форму . Тут – додаткові змінні.

А в задачі про суміші в кожнім обмеженні потрібно відняти додаткову змінну.

Задача виробничого планування відрізняється від транспортної і задачі про дієту тим, що в ній необхідно знайти максимум лінійної форми. Цю відмінність можна вважати несуттєвою, з урахуванням того, що від максимуму цільової функції при деяких обмеженнях легко перейти до знаходження мінімуму функції , а після повного рішення зробити зворотний перехід. І дійсно, якщо величина прийняла максимальне значення, то величина, їй протилежна, тобто , прийме найменше значення (найбільше по абсолютній величині, але зі знаком мінус).

Якщо умова невід’ємності не випливає з фізичного змісту змінних, то кожну з них представляють як різницю двох невід’ємних величин: . У цій рівності і можуть приймати тільки невід’ємні значення, а їх різниця, тобто може приймати будь-яке значення. Впроваджуючи невід’ємні змінні і , ми виконали найважливішу вимогу задач лінійного програмування.

Зробимо кілька зауважень щодо математичного моделювання економічних задач лінійного програмування. Ціль дослідження повинна бути чітко визначена і точно відбита в побудові цільової функції. При цьому варто врахувати, що математична модель конкретної економічної задачі може містити тільки одну цільову функцію: у математичній моделі несумісна наявність двох чи декількох цільових функцій. Тому при якісному аналізі задачі необхідно виділити для оптимізації один найбільш важливий економічний показник, а інші показники визначити межами припустимого рівня і ввести їх у модель як лінійні обмеження. Крім того, обмеження задачі повинні бути повними і точно відбивати всі дані про економічні фактори, що містяться в умові задачі. Побудова математичної моделі економічної задачі – це процес творчий. Щоб вміти в кожному конкретному випадку скласти правильне, математично строге формулювання задачі, потрібні практичні навички. І якщо математична модель економічної задачі лінійного програмування складена, то вона може бути вирішена одним з методів, розглянутих пізніше. Розглянемо кілька прикладів побудови математичної моделі.

Задача 1.

До складу раціону годівлі дитини входять три продукти – суміші “Маля”, “Здоров’як”, “Силач”, що містять вітаміни А, В, С. Вміст вітамінів (в умовних одиницях на 100 г) відповідного продукту, мінімальні норми їхнього споживання, а також гранично припустимі кількості сумішей для дитини в добу задані в таблиці. Визначити оптимальний раціон годівлі дитини з умовою мінімальної вартості харчування.

Вітаміни Суміші	А	В	С	Норми споживання умішей, г в добу	Вартість 100 г суміші, грн.
“Маля”	10	3,6	1,2	240	3
“Здоров’як”	24	2,5	0,8	400	2
“Силач”	36	2,0	0,6	320	5
Норми споживання вітамінів, ум.од.	200	24,0	8,0

Нехай – кількості сумішей “Маля”, “Здоров’як”, “Силач” відповідно, що здобуваються для годівлі дитини протягом доби. У даному випадку зручно вибрати як одиницю виміру пачку, що містить 100 г суміші, тому що суміші продаються в пачках і з умов задачі відома вартість пачки кожного виду. До того ж вміст харчувальних речовин дається в грамах на 100 г суміші. Ми повинні визначити, скільки пачок дитячих сумішей і в якій пропорції потрібно придбати дитині на одну добу.

Загальний вміст вітаміну А у всіх трьох видах сумішей складає грамів і не повинен бути менше 200 ум.од., тобто мінімально необхідної норми його споживання в добу. Ця вимога приводить до нерівності

.

Знак нерівності (а не точної рівності) виникає тому, що дитина може одержати і більшу кількість вітаміну А, чим запропоновано мінімальною нормою його споживання. Аналогічні міркування щодо споживання вітамінів В і С приводять до наступних двох нерівностей:

,

.

Далі для дитини існують граничні норми споживання в добу; вони задані по кожній із сумішей і породжують нерівності:

; ; .

(Ліві сторони нерівностей отримані з умов невід’ємності обраних нами змінних; при написанні нерівностей врахована також розмірність змінних).

Вартість харчування дитини буде складати грн. у добу і повинна бути мінімальною. З цієї умови визначається цільова функція задачі.

Отже, ми прийшли до математичної моделі, що включає систему із шести лінійних нерівностей і лінійну функцію щодо трьох змінних:

Потрібно серед усіх невід’ємних рішень системи лінійних нерівностей знайти таке, котре мінімізує функцію .

Задача 2.

Підприємство може працювати по п’ятьох технологічних процесах, причому кількість одиниць продукції, що випускається по різних технологічних процесах за 1 од. часу, відповідно дорівнює 300, 260, 320, 400 і 450 шт. У процесі виробництва враховуються такі виробничі фактори: сировина, електроенергія, зарплата і накладні витрати. Витрати відповідних факторів (у тис. грн.) при роботі з зазначених технологічних процесів протягом 1 од. часу зазначені в наступній таблиці. Знайти програму максимального випуску продукції.

Технологічні Процеси Виробничі фактори	1	2	3	4	5	Ресурси, тис.грн.
Сировина	12,0	15,0	10,0	12,0	11,0	1300
Електроенергія	0,2	0,1	0,2	0,25	0,5	30
Зарплата	3,0	4,0	5,0	5,0	2,0	400
Накладні витрати	6,0	5,0	4,0	6,0	4,0	800

В останній графі таблиці зазначені ресурси в тис. грн., які має підприємство по кожному з виробничих факторів. Складемо математичну модель задачі. Насамперед визначимо, що мається на увазі під програмою максимального випуску продукції. На підприємстві випускається один вид продукції, для виробництва якої можуть застосовуватися п'ять різних технологічних процесів. Можна планувати або випуск продукції (у шт.) за кожним технологічним процесом окремо, або час роботи підприємства за кожним технологічним процесом. У даній задачі для написання математичної моделі зручніше вибрати другий шлях – всі умови задачі сформульовані в перерахуванні на одиницю часу роботи підприємства. Використовуючи з умов задачі кількість одиниць продукції, що випускається по різних технологічних способах в одиницю часу, і визначивши в результаті її рішення час роботи підприємства по тому чи іншому технологічному процесу, ми знайдемо “технологічну” структуру випуску продукції на підприємстві. Таким чином, змінні математичної моделі будуть такими: – це кількість часу, протягом якого підприємство буде випускати продукцію по -му технологічному процесу.

Помітимо, що загальний час роботи підприємства, як і час роботи з кожного з технологічних процесів, в умовах задачі не обмежено. Випуск продукції визначають лише виробничі фактори. Припустимо, що кожний з технологічних процесів буде використаний при виробництві продукції. Тоді загальні витрати, наприклад, електроенергії для здійснення виробничої програми складуть грн. і за умовою не повинні перевищувати 30000 грн. Так приходимо до нерівності

.

Аналогічні міркування щодо витрат інших виробничих факторів приводять до наступних трьох нерівностей:

,

,

.

Нерівності (а не точні рівності) отримані тому, що виробничі фактори можуть бути використані не цілком. У даному випадку написання обмежень задачі у виді нерівностей не просто можливо, але і необхідно. Ми не маємо вказівок на збалансованість лімітів ресурсів по виробничих факторах, а, виходить, найбільша дефіцитність одного з виробничих факторів для виконання виробничої програми може сприяти недовикористанню інших виробничих факторів. У такому випадку написання обмежень задачі у виді точних рівностей приведе до її нерозв'язності.

Залишилося врахувати невід’ємність змінних моделі:

, , , , .

Випадок, коли , означає що при виконанні виробничої програми -й технологічний процес не буде застосований.

Загальний випуск продукції (по всіх технологічних процесах) складе шт. і повинний бути максимальним у рамках заданих обмежень на виробничі фактори. З цієї умови визначається цільова функція задачі.

Отже, ми прийшли до математичної задачі, що включає систему лінійних нерівностей (спеціальних і загальних обмежень задачі) і лінійну функцію щодо п’яти невідомих:

Потрібно серед усіх невід’ємних рішень системи лінійних нерівностей знайти таке, котре максимізує функцію .

Задача 3.

Автомобільний завод випускає вантажівки трьох типів – А, Б і В, прибуток від реалізації яких складає відповідно 1800, 2250 і 7250 грн. за один. Визначити найбільш рентабельний для заводу план випуску автомобілів, якщо виробничі потужності обмежені так, як показано в таблиці, і машин типу А можна зробити не більш 40.

Виробничі ділянки	Кількість машин за рік
	А	Б	В
1. Підготовка виробництва	180	150	120
2. Кузовний цех	120	180	160
3. Шасі	180	160	120
4. Двигуни	200	150	120
5. Складальний цех	240	200	100
6. Ділянка іспитів	200	200	110

Для складання моделі даної задачі потрібно насамперед визначити, якими будуть змінні. Оскільки потрібно знайти план випуску, то за чинники зручно прийняти кількість автомобілів кожного типу, що випускаються:

–	кількість автомобілів типу А;
–	кількість автомобілів типу Б;
–	кількість автомобілів типу В.

При цьому всі змінні невід’ємні за умовою задачі і .

Прибуток від реалізації загальної кількості автомобілів складе (грн.). Це і є цільовий функціонал, який потрібно максимізувати.

Ресурсами виступають потужності виробничих ділянок, вони ж визначають суть норм витрати ресурсів на виробництво одиниці продукції. Так, якщо ділянка підготовки виробництва розрахована на 180 автомобілів типу А, або на 150 автомобілів типу Б, або на 120 автомобілів типу В, то на один автомобіль приходиться відповідно 1/180, 1/150 і 1/120 потужності ділянки. Більш одиниці (100 %) потужності неможливо використовувати на весь план випуску автомобілів, тому для першої ділянки ми й одержимо обмеження:

або .

Аналогічні міркування приведуть до обмежень для інших ділянок:

• по кузовному цеху:

або .

• по цеху виробництва шасі:

або .

• для виробництва двигунів:

або .

• для складального цеху:

або .

• для ділянки іспитів:

або .

До цих же обмежень прийдемо, якщо замість частки потужності приймемо частку одиниці часу, що йде на виготовлення вузлів і деталей для різних типів машин, що, по суті, має той же зміст. Таким же чином, з урахуванням вимоги невід’ємності змінних і обмеження на , отримаємо наступну модель даної задачі:

; ;