Коррелограмма

Последовательность коэффициентов автокорреляции различных уровней называют автокорреляционной функцией. Она представляет собой функцию от величины лага – r(τ). График этой функции носит название коррелограммы (например, см. рисунок 5.2).

Определение структуры временного ряда на основании автокорреляционной функции и коррелограммы

На основе анализа коррелограммы можно сделать определенные выводы о структуре временного ряда. Так, если наиболее высокие значения коэффициента автокорреляции соответствуют единичному лагу, это говорит о значительном влиянии факторов тренда при отсутствии или очень незначительном влиянии циклических факторов. Если более высоки значения коэффициентов других порядков, это свидетельствует о наличии циклических колебаний. По величине лага можно судить об их цикличности, о длительности цикла.

Однако не следует забывать о том, что коэффициент автокорреляции оценивает только тесноту линейной связи. Даже при его незначительных величинах между уровнями ряда может иметь место сильная нелинейная связь.

Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов Компоненты временного ряда

Модель временного ряда, описываемая формулой (5.1), представляет собой аддитивную модель, поскольку представляет собой сумму четырех компонент: Он может быть условно представлен в виде суммы четырех составляющих: трендовой, сезонной, циклической и случайной.

Возможно также построение мультипликативной модели, в которой перечисленные компоненты перемножаются:

y

(5.5)

_t = u_t * v_t * c_t * _t

Методы выравнивания уровней временного ряда

Как уже упоминалось ранее, наиболее важной задачей изучения временных рядов является выявление тренда. Обычно для решения этой задачи данные об уровнях временного ряда подвергают предварительным анализу и обработке с целью выявить существенные отклонения от основной тенденции (это можно сделать, например, с помощью графического анализа ряда, который дает наглядное представление о характере процесса и таких отклонениях). Если причина отклонения не имеет постоянного характера, временной ряд выравнивают.

Выравнивание (сглаживание, фильтрование) ряда – это построение на основе имеющегося ряда нового, с той же общей тенденцией, но имеющего меньшие колебания значений показателя.

Существуют различные способы построения сглаженного ряда:

1) на основе различных средних, например:

а) простой скользящей средней;

б) экспоненциально взвешенной средней;

в) и др.

2) на основе аналитических функций (уравнения тренда), например:

а) линейного тренда;

б) полиномиального тренда (квадратической, кубической функций и т.д.);

в) экспоненциального тренда;

г) и др.

Преобразование, с помощью которого исходный ряд заменяют сглаженным, иногда называют фильтром.

Выравнивание на основе скользящей средней

В основе расчета скользящей средней лежит усреднение уровней исходного ряда за определенный промежуток времени. Обычно число наблюдений в этом периоде берут нечетным. Тогда можно использовать следующую формулу:

(5.6)

,

где y_t –скользящая средняя, т.е. уровень сглаженного ряда;

(2k + 1) - длина базового периода для расчета средней (нечетное число уровней ряда);

d_i – значения уровней ряда до сглаживания.

Этот метод относят к адаптивным методам (с поступлением каждого нового значения уровня ряда средняя корректируется). Нет необходимости несколько раз пересчитывать скользящую среднюю заново по формуле (5.6). Если один раз она уже рассчитана, и необходимо провести расчет для следующего временного промежутка, то та сумма, которая делится на длину базового периода, увеличится на новый уровень ряда и уменьшится на уровень, имевший место на начало предыдущего базового периода. Поэтому достаточно к предыдущему значению скользящей средней прибавить разность между ними, разделенную на (2k + 1), т.е. средняя как бы «соскальзывает» на следующие (2k + 1) значений:

y

(5.7)

_t+1 = y_t + (d_t+k+1 – d_t-k)/ (2k + 1)

Наряду с достоинством простоты данный метод обладает существенным недостатком: веса всех уровней ряда d_i, используемых при расчете очередной средней, одинаковы (равны 1/(2k + 1)), а веса всех остальных уровней – нулевые. Преодолеть эти недостатки позволяют методы расчета взвешенных средних (например, экспоненциально взвешенной средней), которые здесь подробно не рассматриваются.

Аналитическое выравнивание временного ряда на основе математических функций считается наиболее достоверным способом сглаживания. При этом для моделирования тренда могут быть использованы различные функции y_t = f(t), которые подробно рассматривались при изучении регрессионных моделей. В данном случае тренд представляет собой парную регрессию признака-результата (уровня временного ряда) от времени (время – факторный признак).

Для определения параметров функции используются те же методы, что и в регрессионном анализе. При этом следует помнить, что сумма значений признака-фактора (ее расчет необходим для применения МНК) здесь представляет собой сумму идущих подряд натуральных чисел (номеров периодов). В частности, для промежутка времени от 1 до n ее можно посчитать по формуле .

Для выбора функции можно использовать анализ графического представления временного ряда, а также анализ цепных и базовых приростов и темпов роста. Например, если цепные приросты примерно одинаковы, это может говорить о линейном характере тренда и целесообразности применения линейного фильтра y_t = at + b. Если примерно одинаковы цепные темпы роста, то зависимость, скорее всего, носит экспоненциальный характер у_t = ba^t. В том и другом случае параметр b по своему экономическому смыслу представляет собой значение показателя на начальный момент времени, а параметр a – соответственно средний прирост или средний темп роста¹.