Лабораторная работа №2

Формы представления данных

В ЭВМ используются следующие формы представления данных:

• числа с фиксированной точкой (запятой);

• числа с плавающей точкой (запятой);

• десятичные числа;

• символьные данные.

Числа с фиксированной точкой

При представлении числа Х в форме с фиксированной точкой указываются знак числа (sign X) и модуль числа (modX) в q-ичном коде. Иногда такую форму представления чисел называют естественной формой. Место точки (запятой) постоянно для всех чисел и в процессе решения задач не меняется. Знак положительного числа кодируется цифрой «0», а знак отрицательного числа — цифрой «1».

Код числа в форме с фиксированной точкой, состоящий из кода знака и q-ичного кода его модуля, называется прямым кодом. Разряд прямого кода числа, в котором располагается код знака, называется знаковым разрядом кода. Разряды прямого кода числа, в которых располагается q-ичный код модуля числа, называются цифровыми разрядами кода. При записи прямого кода знаковый разряд располагается левее старшего цифрового разряда и обычно отделяется от цифровых разрядов точкой.

Разрядная сетка ЭВМ для размещения чисел в форме с фиксированной точкой показана на рис. 1.

На рисунке используется n разрядов для представления целой части числа и r разрядов — для дробной части числа.

а)  

Рис. 1. Число с фиксированной точкой

При заданных значениях n и r диапазон изменения модулей чисел, коды которых могут быть представлены в данной разрядной сетке, определяется неравенством

.

Использование формы с фиксированной точкой для представления смешанных (с целой и дробной частью) чисел в ЭВМ практически не встречается. Как правило, используются ЭВМ либо с дробной арифметикой (n=0), либо с целочисленной арифметикой (r=0).

Форма представления чисел с фиксированной точкой упрощает аппаратную реализацию ЭВМ, уменьшает время выполнения машинных операций, однако при решении задач на машине необходимо постоянно следить за тем, чтобы все исходные данные, промежуточные и окончательные результаты находились в допустимом диапазоне представления.

Числа с плавающей точкой

b) p m

Рис. 2. С плавающей точкой

В нормальной форме число представляется в виде произведения X=mq^p,

где m — мантисса числа;

q — основание системы счисления;

р — порядок.

Для задания числа в нормальной форме требуется задать знаки мантиссы и порядка, их модули в q-ичном коде, а также основание системы счисления. Нормальная форма представления чисел неоднозначна, ибо взаимное изменение m и р приводит к плаванию точки (запятой). Отсюда произошло название формы представления чисел (рис. 2).

Для однозначности представления чисел в ЭВМ используется нормальная нормализованная форма, в которой положение точки всегда задается перед значащей цифрой мантиссы, т. е. выполняется условие .  Разрядная сетка содержит:

• разряд для знака мантиссы;

• r цифровых разрядов для q-ичного кода модуля мантиссы;

• разряд для кода знака порядка;

• s разрядов для q-ичного кода модуля порядка.

Диапазон представления модулей чисел в нормальной нормализованной форме определяется следующим неравенством:

.

 В конкретной ЭВМ диапазон представления чисел с плавающей точкой зависит от основания системы и числа разрядов для представления порядка. При этом у одинаковых по длине форматов чисел с плавающей точкой с увеличением основания системы счисления существенно расширяется диапазон представляемых чисел.

Точность вычислений при использовании формата с плавающей точкой определяется числом разрядов мантиссы r. Она увеличивается с увеличением числа разрядов.

Сложение чисел с плавающей точкой

Выравниваются порядки слагаемых: младший порядок увеличивается до большего. При этом на соотвеотствующее число разрядов вправо сдвигается мантисса выравниваемого слагаемого. Производится суммирование мантисс по правилам сложения чисел с фиксированной точкой в двоичном коде. К полученному результату добавляется порядок слагаемых. При необходимости производится нормализация мантиссы.

Пример: сложить 2 числа 0,10101*10^101 и 0,11001*10^011

Наименьший порядок у 2-го слагаемого: 0,11001*10^011 = 0,0011001*10^101

Производим сложение 0,10101 и 0,0011001: 0,10101

+ 0,0011001

0,1101101

Получаем результат 0,1101101*10^101.

В полученном результате мантисса нормализована.

Пример: сложить 2 числа 0,11101*10^101 и 0,11001*10^011.

Наименьший порядок у 2-го слагаемого: 0,11001*10^011 = 0,0011001*10^101.

Производим сложение 0,11101 и 0,0011001: 0,11101

+ 0,0011001

1,0001101

Получаем результат 1,0001101*10^101.

В полученном результате мантисса сформировалась ненормализованной.

Нормализация результата: 1,0001101*10^101 = 0,10001101*10^110.