4. Первое начало термодинамики

4.1 Общее соотношение

Если тело участвует в процессе, в котором над ним совершается работа dA и ему передается тепло dQ, его внутренняя энергия увеличивается на dU:

dU=dQ+dA. (19)

Это  математическая запись первого начала термодинамики:

внутреннюю энергию термодинамической системы можно изменять путем совершения над ним работы и передачи ему теплоты; сумма работы над системой и переданной системе теплоты равна увеличению внутренней энергии.

4.2 Теплоемкости идеального газа

При передаче телу тепла его температура повышается. Характеристикой “отзывчивости” тела на передачу тепла является теплоемкость. Обозначают теплоемкость буквой C. Она определяется так:

(20)

где dT  изменение температуры тела, произошедшее при получении тепла dQ. Чем больше теплоемкость, тем труднее повысить температуру тела.

Допустим тепло передается газу, который с достаточной точностью описывается уравнением состояния идеального газа. Если тепло передается запечатанному газу при постоянном объеме, то теплоемкость в таком процессе называется теплоемкостью при постоянном объеме. Обозначается C_V. Поскольку в данном процессе dU=dQ, теплоемкость равна:

(21)

С учетом соотношений (3) и (5) для одноатомного газа находим:

(22)

Для двухатомного газа 

(23)

Чаще приходится иметь дело с теплоемкостью, отнесенной к одному молю. Эту теплоемкость называют молярной теплоемкостью.

Процессы, протекающие в доступных атмосфере пространствах, происходят при постоянном давлении. Нагревание газа в таких условиях сопровождается расширением. При этом газ совершает работу. Для равного повышения температуры в изобарическом процессе придется передать больше тепла, чем в изохорическом процессе. Из первого начала имеем:

dU=dQPdV  dQ=dU+PdV. (24)

Учтем, что dU=C_VdT. Кроме того, из уравнения состояния следует, что

PdV=RdT. (25)

Теплоемкость при постоянном давлении C_P оказывается равной

(26)

Для молярных теплоемкостей с_V и c_P имеем уравнение Майера

c_Pс_V=R. (27)

4.3 Дифференциальное уравнение адиабаты

Задача данного раздела состоит в следующем. При адиабатическом сжатии или расширении газа изменяются все три параметра состояния: объем, давление и температура. Требуется найти связь между бесконечно малым изменением объема и соответствующим изменением давления.

Итак, объем газа, находящегося в адиабатической оболочке изменяем на dV. Пусть при этом температура изменилась на dT. Изменение внутренней энергии газа dU=C_VdT в адиабатическом процессе равно работе dA=PdV, совершенной над газом, поэтому имеем:

C_VdT=PdV. (28)

Из уравнения состояния

RdT=d(PV)=PdV+VdP, (29)

поэтому уравнение (28) принимает вид

(30)

Учитывая уравнение (26), можем переписать уравнение (30) в виде

C_PPdV =C_VVdP или (31)

Уравнение (31) называется дифференциальным уравнением адиабаты. Оно применимо не только для бесконечно малых изменений объема и давления газа, но и для конечных V и P при условии выполнения и . Число называется показателем адиабаты.

4.4 Уравнение адиабаты как уравнение состояния

Пусть начальное значение объема газа V₀, а начальное значение давления P₀. Определим давление Р в состоянии с объемом газа V.

После интегрирования уравнения (31) в указанных выше пределах получаем

. (32)

Откуда

(33)

Адиабата идет круче, чем изотерма. При адиабатическом сжатии газа возрастает не только концентрация газа, но и его температура, так что давление возрастает по двум причинам  из-за возрастания концентрации газа и возрастания температуры.