3.9. Основные законы распределения непрерывных случайных величин

3.9.1. Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [а, b], если ее плотность вероятности f(х) на этом отрезке постоянна и вне этого отрезка равна нулю, то есть

Функция распределения случайной величины X, распределенной по равномерному закону, равна

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины Х вычисляются по формулам:

, .

Рис. 3.9.1. Рис. 3.9.2.

Пример 3.9.1. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х — времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина Х — время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0;2] имеет равномерный закон распределения f(х) =1/2. Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна:

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

мин.,

,

.

3.9.2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

Функция распределения случайной величины X, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону имеет вид:

а ее математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

, .

Таким образом, для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, то есть М(Х)=_x=1/.

Вероятность попадания случайной величины в интервал [a, b] равна

.

Пример 3.9.2. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизора составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Решение. По условию математическое ожидание М(Х)=1/ = 15, откуда параметр  = 1/15. Плотность вероятности и функция распределения имеют вид:

и .

Искомую вероятность Р(Х  20) можно было найти, интегрируя плотность вероятности, то есть

,

но проще это сделать, используя функцию распределения:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение σ_х = М(Х) = 15дней.

3.9.3. Нормальный закон распределения

Главная особенность этого закона распределения в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся условиях.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ², если ее плотность вероятности имеет вид:

,

где а – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой.

На рисунке 3.9.3 приведена нормальная кривая с параметрами а и σ². Рассмотрим подробнее нормальную кривую.

Рис. 3.9.3.

1. Функция f(x) определена на всей числовой оси х.

2. При всех значениях х функция неотрицательна, то есть расположена над осью Oх.

3. При |х|→∞ асимптотически приближается к оси Ox.

4. Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет максимум в точке х = а, равный , то есть , и две точки перегиба х = а ± σ с ординатой .

Рис. 3.9.4.

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, то есть М(Х) = а, а ее дисперсия — параметру σ ², то есть D(Х) = σ ².

Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров а и σ² (или σ).

Если σ = соnst, и меняется параметр a (a₁<a₂<a₃), то есть центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы.

Рис. 3.9.5.

Если а = соnst и меняется параметр σ² (или σ), то меняется ордината максимума кривой . При увеличении σ ордината максимума кривой уменьшается, но так как площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении σ, напротив, нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. Таким образом, параметр а характеризует положение, а параметр σ — форму нормальной кривой.

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а = 0, σ² = 1, то есть N(0;1), называется стандартным или нормированным, соответствующая нормальная случайная величина называется стандартным или нормированной и нормальная кривая — стандартной или нормированной.

Рис. 3.9.6.

Функция распределения случайной величины X, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:

.

Геометрически функция распределения представляет собой площадь под нормальной кривой на интервале (–; х). Она состоит из двух частей: первой, на интервале (–; а), равной 1/2, то есть половине всей площади под нормальной кривой, и второй, на интервале (а, х), равной .

Свойства нормальной случайной величины.

1. Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал [х₁; х₂], равна

,

где , .

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину Δ > 0 (по абсолютной величине), равна

, где .

Рис. 3.9.7.

Вычислим вероятности при различных значениях Δ, получим при:

Δ= ,

Δ=2 ,

Δ=3 .

Отсюда вытекает «правило трех сигм»: Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и ², то есть N(а; ²), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а – 3, а + 3).

Нарушение «правила трех сигм», то есть отклонение нормально распределенной случайной величины Х больше, чем на 3 (по абсолютной величине), является событием практически невозможным, так как его вероятность весьма мала:

.

Коэффициент асимметрии нормального распределения А = 0, а эксцесс нормального распределения равен нулю Е = 0.

Пример 3.9.3. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величинах Х с параметрами а = 173 и σ² = 36. Найти: а) выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины X; б) доли костюмов 4-го роста (176–182 см) и 3-го роста (170–176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы. в) Сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины X.

Решение. а) Запишем выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины X:

;

.

б) Доля костюмов 4-го роста (176–182 см) в общем объеме производства определится как вероятность

,

где и .

Долю костюмов 3-го роста (170–176 см) можно определить проще, если учесть, что данный интервал симметричен относительно математического ожидания а = М(Х) =173, то есть неравенство 170  Х  176 равносильно неравенству |Х – 173| < 3:

.

в) Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от а – 3 = 173 – 36 = 155 до а + 3 = 173 + 36=191 (см), то есть 155 < Х < 191 (см).

Задачи

3.24. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Требуется найти М(Х), D(Х) и (Х):

а)	0	1	2	б)	–2	–1	0	1	2
	0,3	0,5	0,2		0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

в)	–1	0	1	г)	1	2	3	4	5
	0,4	0,5	0,1		0,05	0,15	0,3	0,4	0,1

3.25. Заданы закон распределения дискретной случайной величины Х и функция (х). Требуется найти М[(х)]:

а)	–1	0	1	(х) = х + 1;
	0,3	0,5	0,2
б)	–2	–1	0	1	2	(х) = 2х.
	0,10	0,15	0,25	0,40	0,10

3.26. Найдите математическое ожидание случайной величины Z, если заданы математические ожидания случайных величин X и Y:

а) z = 2x – 3y, M(x) = 3, M(y) = 1;

б) z = x + 3y + 1, M(x) = 2, M(y) = 0.

3.27. Случайные величины х и y независимы, причем D(Х) = 1 и D(y) = 2. Найдите D(z), если: а) z = 3x + y; б) z = 2x + y – 2; в) z = аx + by + c, где а, b, c – постоянные величины.

3.28. Случайные величины х₁, х₂, ..., х_n независимы, имеют одно и то же математическое ожидание m и одну и ту же дисперсию ². Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины

.

3.29. Вероятность наступления события А в данном опыте равна р. Величина X – число наступлений события А в этом опыте. Найдите М(Х), D(Х) и (Х).

3.30. Случайная величина х имеет биномиальное распределение

р( x = k) = , k = 0, 1, 2, ..., n; 0 < p < 1, q = 1 – p.

Найдите М(Х) и D(Х) двумя способами: а) непосредственным подсчетом; б) используя предыдущую задачу и свойства математического ожидания и дисперсии.

3.31. Произведено n независимых бросаний монеты (n  1). Случайная величина х – число выпадений герба при n подбрасываниях монеты. Найдите М(Х), D(Х) и (Х).

3.32. Вероятность успеха в каждом из n испытаний Бернулли равна р. Случайная величина х – частота успеха в серии из n испытаний. Найдите М(Х), D(Х) и (Х).

3.33. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна р = 0,8. Случайная величина х – число попаданий в мишень при 100 независимых выстрелах. Найдите М(Х), D(Х) и (Х).

3.34. Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна р₁, а для второго – р₂. Найдите М(Х), D(Х) и (Х), если случайная величина х – общее число попаданий в мишень.

3.35. Два стрелка независимо друг от друга сделали по n выстрелов в мишень. Вероятность попадания при каждом выстреле для первого стрелка р₁, а для второго – р₂. Найдите М(Х), D(Х) и (Х) случайной величины х, равной общему числу попаданий в мишень.

3.36. Производится последовательность независимых опытов, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Опыты проводятся до первого наступления события А, а потом прекращаются. Пусть случайная величина х – число произведенных опытов. Найдите М(Х), D(Х) и (Х).

3.37. Стрелок, имея n патронов в запасе, начинает стрельбу по цели, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна р. Стрельба прекращается после первого попадания в цель или после израсходования всех патронов. Найдите числовые характеристики случайной величины х – числа израсходованных патронов.

3.38. Из урны, содержащей m белых и (n – m) черных шаров, по схеме выбора без возвращения извлекается выборка объемом k. Пусть случайная величина х – число белых шаров в выборке. Найдите М(Х), D(Х) и (Х).

3.39. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите числовые характеристики случайной величины, равной числу проб при открывании замка, если: а) испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует; б) испробованный ключ участвует в последующих опробованиях.

3.40. В ящике лежит n изделий, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. Найдите среднее значение числа вынутых изделий.

3.41. Вероятность изготовления стандартной детали равна р = 0,98. Для контроля наудачу взято 100 деталей. Пусть случайная величина х – число нестандартных деталей в выборке. Найдите числовые характеристики случайной величины х.

3.42. Мишень состоит из круга № 1 и двух концентрических колец № 2 и № 3. Попадание в круг № 1 дает 10 очков, в кольцо № 2 – 5 очков, в кольцо № 3 – одно очко. Вероятности попадания в круг № 1, кольца № 2 и № 3 соответственно равны 0,5; 0,2; 0,3. Пусть случайная величина х – сумма очков, полученных в результате трёх попаданий в мишень. Найдите числовые характеристики случайной величины х.

3.43. Даны все возможные значения дискретной случайной величины х: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3, а также известны М(Х) = 2,3 и М(x²) = 5,9. Найдите закон распределения случайной величины х.

3.44. Найдите математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины х, распределенной по закону Пуассона с параметром .

3.45. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 часов работы равно 10. Определите вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 часов работы.

3.46. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 с, в течение которых телефонистка отлучалась, не будет ни одного вызова?

3.47. За рассматриваемый период времени среднее число ошибочных соединений, приходящихся на одного телефонного абонента, равно 8. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?

3.48. Какова вероятность того, что среди 200 изделий окажется более 3 бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%?

3.49. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Найдите среднее значение числа элементов, отказывающих в течение года. Какова вероятность того, что в течение года откажут: а) 2 элемента; б) не менее 2 элементов? Найдите среднее число элементов, отказывающих в течение 2 лет.

3.50. В лотерее имеется m₁ выигрышей стоимостью k₁, m₂ выигрышей стоимостью k₂ и т.д., m_n выигрышей стоимостью k_n. Всего билетов N. Какую стоимость билета следует установить, чтобы математическое ожидание выигрыша на один билет равнялось половине его стоимости?

3.51. Автоматическая линия при нормальной настройке может выпускать бракованное изделие с вероятностью р. Переналадка линии производится после первого же бракованного изделия. Найдите среднее число всех изделий, изготовленных между двумя переналадками линии.

3.52. Случайная величина х может принимать лишь целые положительные значения с вероятностями, убывающими по геометрической прогрессии. Выберите первый член и знаменатель прогрессии q так, чтобы математическое ожидание величины х было равно 10 и вычислите при этих условиях вероятность Р (х  10).

3.53. Из урны, содержащей m белых и n черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. Найдите математическое ожидание числа вынутых шаров и его дисперсию, если каждый шар после извлечения возвращается в урну.

3.54. Из ящика, содержащего 2 белых и 4 черных шара, вынимают 3 шара и перекладывают в другой ящик, где имелось 5 белых шаров. Затем из второго ящика 4 шара перекладывают в первый. Найдите математическое ожидание числа белых шаров, оказавшихся в каждом ящике.

3.55. n игральных костей бросают N раз. Пусть случайная величина х – число бросаний, в которых появилось m шестерок. Найдите М(Х).

3.56. Случайная величина х – распределена по закону Паскаля (a > 0):

, k = 0, 1, 2, ... .

Найдите М(Х), D(Х) и (Х).

3.57. Пусть случайная величина х – число появлений события А в серии из n независимых испытаний. Вероятность появлений события А в k-м испытании равна р_k (k = 1, 2, ..., n). Найдите М(Х), D(Х) и (Х).

3.58. Непрерывная случайная величина х задана плотностью вероятности f(x). Найдите М(Х), D(Х) и (Х):

1) 2)

3) 4)

3.59. Задана плотность вероятности f(x) случайной величины х. Требуется найти математическое ожидание случайной величины Y = (х).

1) 2)

Y = х+ 1; Y = х² – 1;

3) 4)

Y = sin х; Y = ln х + 1.

3.60. Случайная величина х распределена по нормальному закону с параметрами а и . Выразите через а и  начальные и центральные моменты порядков 2, 3 и 4.

3.61. Найдите начальные и центральные моменты 3-го и 4-го порядков для случайной величины х, имеющей равномерный закон распределения: а) на отрезке [-1,1]; б) на отрезке [0,1].

3.62. Случайная величина х равномерно распределена на отрезке [a – h; a + h], h > 0.

1. Найдите М(Х), D(Х) и (Х).

2. Вычислите вероятности попадания случайной величины Х в промежутки:

а) [М(Х) – (Х); М(Х) + (Х)];

б) [М(Х) – 3(Х); М(Х) + 3(Х)].

3.63. Маршрутный автобус ходит через данную остановку с интервалом 10 минут. Вы подходите к остановке в случайный момент времени. Предполагая, что время ожидания автобуса на остановке имеет равномерный закон распределения, найдите среднюю продолжительность и среднее квадратическое отклонение этого времени.

3.64. Случайная величина х равномерно распределена на отрезке [-1, 1]. Найдите: а) М (2Х + 3); б) М (x² + 1).

3.65. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины х, имеющей плотность вероятности Пользуясь правилом «трех сигм», укажите интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который попадает случайная величина х с вероятностью 0,9973.

3.66. Случайная величина х подчинена закону нормального распределения с М(Х) = 0. Вероятность попадания случайной величины Х на участке от – до , ( > 0) равна 0,5. Найдите  = (Х) и напишите выражение для плотности вероятности случайной величины Х.

3.67. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в промежутке [12; 14].

3.68. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали (случайная величина Х), которая распределена нормально со средним значением 50 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найдите вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

3.69. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением  = 20 г. Найдите вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

3.70. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее фактического размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения фактического размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением  = 5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

3.71. При измерении детали ее длина Х является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 22 мм и средним квадратическим отклонением 0,2 мм. Найдите интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает Х.

3.72. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием M(Х) = 0. Задан отрезок [; ], не включающий начало координат. При каком значении среднего квадратического отклонения (Х) вероятность попадания случайной величины в отрезок [; ] достигает максимума?

3.73. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d₀ = 5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением d₀ и средним квадратическим отклонением  = 0,05. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на  = 0,1 мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.

3.74. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, имеющей плотность вероятности (распределение Лапласа) . Вычислите вероятность попадания значений случайной величины в промежуток [М(Х) – 3(Х); М(Х) + 3(Х)].

3.75. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону

Найдите математическое ожидание М(Х) и среднее квадратическое отклонение (Х). Вычислите вероятность того, что отклонения случайной величины Х от М(Х) не превосходят 3(Х) .

3.76. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

xi	-1	0	1
pi	0,25	0,5	0,25

Найдите функцию распределения F(x) и найдите вероятность события х  0. Постройте график функции F(x).

354. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:

xi	-2	-1	0	1	2
pi	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятности событий: а) –2  х < 1; б) х  2. Постройте график функции распределения.

355. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:

xi	0	1	2	3	4
pi	0,05	0,2	0,3	0,35	0,1

Найдите функцию распределения F(x) и найдите вероятности следующих событий: а) x < 2; б) 1  х < 4; в) 1  х  4; г) 1 < x  4; д) х = 2,5.

356. Найдите функцию распределения дискретной случайной величины из задачи 324 и, используя ее, вычислите вероятности следующих событий:

а) х  2; б) 2  х  3; в) х < 3. Постройте график функции распределения.

357. Найдите функцию распределения дискретной случайной величины х из задачи 325 и, используя ее, найдите вероятности следующих событий: а) менее 2 промахов; б) не более 3 промахов; в) число промахов больше одного, но не более 3. Постройте график функции распределения.

361. Найдите функцию распределения дискретной случайной величины х, равной числу выпавших очков при одном бросании игральной кости. Используя функцию распределения, найдите вероятность того, что выпадет не менее 5 очков.

362. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения случайного числа испытаний приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора 0,9.

363. Задана функция распределения дискретной случайной величины х:

а) Найдите вероятность события 1  х  3.

б) Найдите таблицу распределения случайной величины х.

364. Задана функция распределения дискретной случайной величины х:

а) Найдите вероятность событий: х = 2, 2 < х  4.

б) Составьте таблицу распределения данной случайной величины.

365. С помощью характеристических свойств выясните, является ли F(x) функцией распределения случайной величины. Постройте схематически график данной функции.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

366. Доказать, что функция F(x) = 0,5 + Ф(х), где Ф(х) – функция Лапласа, является функцией распределения случайной величины. Постройте график функции F(x). Найдите вероятности событий: а) – 1  х  1; б) –2  х  2; в) –3  х  3; г) х = х₀ , где х₀ – любое действительное число.

367. Доказать, что функция

( - положительный параметр) является функцией распределения некоторой случайной величины. Найдите вероятность события 0  х < 1 при  =1. Постройте график F(x) при  = 1.

368. Монету бросают n раз. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения числа появлений герба. Постройте график функции распределения при n = 5.

369. Монету бросают, пока не выпадет герб. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения числа появлений цифры.

370. Снайпер стреляет по цели до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле равна р. Найдите функцию распределения числа промахов.

371. Игральную кость бросают n раз. Найдите функцию распределения числа выпаданий шестерки. Постройте график F(x) при n = 5.

372. Случайная величина х задана функцией распределения F(x).

а) Является ли случайная величина х непрерывной? б) Имеет ли случайная величина х плотность вероятности f(x)? Если имеет, то найдите ее. в) Постройте схематически графики F(x) и f(x).

1) 2)

3) 4)

5)

6)

373. Случайная величина х имеет плотность вероятности (закон Коши)

.

Найдите: а) постоянную с; б) функцию распределения F(x); в) вероятность события –1 < x < 1.

374. Случайная величина х имеет плотность вероятности

Найдите: а) постоянную с; б) функцию распределения F(x); в) вероятность события .

375. Задана плотность вероятности случайной величины х:

Найдите: а) коэффициент а; б) функцию распределения F(x); в) вероятность события x > 1.

376. Случайная величины х имеет плотность вероятности

Найдите функцию распределения F(x) и вероятность события . Постройте кривую распределения и график функции распределения.

377. Случайная величина х имеет плотность вероятности (закон Релея)

Найдите функцию распределения F(x). Постройте графики f(x) и F(x) при .

378. Пусть х – проекция радиус-вектора точки на ось абсцисс, наудачу выбранной на окружности радиуса R с центром в начале координат, причем вероятность выбора точки, принадлежащей данной дуге окружности, зависит только от длины этой дуги и пропорциональна ей. Найдите функцию распределения случайной величины х и плотность вероятности. Определите вероятность того, что х окажется в промежутке .

379. Точка брошена в круг радиуса R. Вероятность ее попадания в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найдите функцию распределения F(x) и плотность вероятности f(x) случайной величины х, равной расстоянию точки до центра круга.

380. Случайная величина х имеет плотность вероятности (закон Лапласа) Найдите коэффициент а и функцию распределения. Постройте графики плотности вероятности и функции распределения.

383. Случайная величина х имеет равномерный закон распределения на отрезке [0, 2]. Напишите выражение для плотности вероятности f(x) и для функции распределения F(x). Найдите вероятность события 0 < x < 0,5. Постройте графики f(x) и F(x).

384. Автобусы идут с интервалом 5 мин. Предполагая, что время х ожидания автобуса на остановке имеет равномерное распределение, найдите: а) функцию распределения; б) плотность вероятности; в) вероятность того, что время ожидания не превзойдет 2 мин; г) постройте графики плотности вероятности и функции распределения.

385. Шкала угломерного инструмента имеет цену деления в 1⁰. Отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Пусть случайная величина х, допущенная при отсчете, ошибка. Найдите функцию распределения F(x) и плотность вероятности f(x). Найдите вероятность того, что допущенная при отсчете ошибка превзойдет 20`.

386. Случайная величина х распределена по нормальному закону с параметрами а = 0 и  = 1. Напишите выражения для плотности вероятности f(x) и функции распределения F(x). Используя таблицу для функции Лапласа, найдите вероятность события 1,25  х  2,55.

387. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины х имеет вид: . Найдите коэффициент с и параметр ; напишите функцию распределения F(x); найдите вероятность попадания случайной величины х в промежуток [2; 5].

388. Случайная величина х распределена по нормальному закону с параметрами а и . В каждом из следующих четырех пунктов а), б), в), г) напишите плотность вероятности и функцию распределения; в одной и той же системе координат постройте кривые распределения; пользуясь «правилом трех сигм», найдите интервал, в который попадает случайная величина х с практической достоверностью (с вероятностью 0,9973):

а) а = 0,  = 1; б) а = 2,  = 1;

в) а = -2,  = 1; г) а = 0,  = 0,5.

389. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать случайной величиной, распределенной по нормальному закону, с параметрами а = 2,5;  = 0,001. Напишите выражения для плотности вероятности и функции распределения. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?