3.6. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Следствие. Если Х — непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, то есть

Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) f(х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения

Плотность вероятности f(х), как и функция распределения F(х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения.

Пример 3.6.1. Найти плотность вероятности случайной величины X, функция распределения которой имеет вид:

Решение. Плотность вероятности , то есть

Свойства плотности вероятности:

Плотность вероятности — неотрицательная функция, то есть .
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b, то есть

Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

3.7. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют вид:

Если все возможные значения случайной величины заключены в интервале [a,b], то формулы для математического ожидания и дисперсии имеют вид:

и несобственный интеграл .

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные выше для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных величин.

В частности, или .

Пример 3.7.1. Функция задана в виде:

Найти: а) значение постоянной А, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины X; б) интегральную функцию распределения F(х); в) вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале [2; 3]; г) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение. а) Для того чтобы была плотностью вероятности некоторой случайной величины X, она должна быть неотрицательна, то есть или , откуда А  0 и она должна удовлетворять свойству 4: . Следовательно,