3.4. Основные законы распределения дискретных случайных величин

3.4.1. Биномиальный закон распределения

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения, если она принимает только целые неотрицательные значения 0, 1, 2,..., т,..., п с вероятностями

,

где , , m = 0,1,..., п, а р – параметр распределения.

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

хi	0	1	2	…	т		п
рi	qn			...		...	рn

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, равно

М(Х) = пр,

а ее дисперсия

D(Х) = прq.

Математическое ожидание частости – события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равно р, то есть , а ее дисперсия .

Пример 3.4.1. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Вероятность того, что случайно выбранная пара обуви изготовлена первой фабрикой, равна

.

Случайная величина Х — число пар обуви среди четырех, изготовленных первой фабрикой, имеет биномиальный закон распределения с параметрами п = 4, р = 0,4, . Закон распределения Х имеет вид:

хi	0	1	2	3	4
рi	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

Значения р_i = Р(Х=т) вычислены по формуле Бернулли:

;

;

;

;

;

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х:

М(X)=пр=40,4=1,6;

D(X)=прq=40,40,6=0,96.

3.4.2. Закон распределения Пуассона

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает только целые неотрицательные значения 0, 1, 2,..., т,... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Закон распределения Пуассона часто называют законом редких явлений (событий). Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

xi	0	1	2	…	т	…
рi	e-	 e-		...		...

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, то есть

М(Х) = D(Х) = .

3.4.3. Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина Х = m имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, m,… (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностью

.

Геометрический ряд распределения имеет вид

хi	1	2	3	…	m	…
pi	p	pq	pq2	…	pqm-1	…

Вероятности p_i образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q:

, где b₁=p.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром р, имеют вид:

, .

Пример 3.4.2. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей, найти математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

Решение. Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром p=0,1. Поэтому ряд распределения имеет вид:

хi	1	2	3	…	m	…
pi	0,1	0,1·0,9	0,1·0,92	…	0,1·0,9m-1	…

, .

Задачи

3.1. Вероятность того, что студент сможет взять в библиотеке необходимую ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.

3.2. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью 100 рублей и одна стоимостью 300 рублей. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет стоимостью 10 рублей, если всего продано 50 билетов.

3.3. Дискретная случайная величина Х – число мальчиков в семье с пятью детьми. Предполагая равновероятными рождение мальчика или девочки: а) найдите закон распределения Х; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите вероятности событий: А – в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В – не более 3 мальчиков; С – более одного мальчика.

3.4. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Дискретная случайная величина Х – число промахов. а) Найдите закон распределения случайной величины х. б) Постройте многоугольник этого распределения. в) Найдите вероятности событий: Х < 2; Х  3; 1 < Х  3.

3.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при одном выстреле – 0,5, для второго – 0,4. Дискретная случайная величина Х – число попаданий в мишень. а) Найдите закон распределения Х. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события Х  1.

3.6. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон распределения случайной величины Х – числа красных карандашей в выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события 0 < Х  2.

3.7. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Найдите закон распределения дискретной случайной величины Х – числа оцененных на «отлично» работ среди извлеченных. Чему равна вероятность события Х > 0?

3.8. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

xi	0	3	4	5	8
pi	0,2	0,1	0,3	p4	0,15

Чему равна вероятность р₄ = Р(Х = 5)? Постройте многоугольник распределения.

3.9. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон распределения случайной величины х – числа проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках открыть замок не участвует.

3.10. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите закон распределения случайной величины х – числа стандартных деталей в выборке.

3.11. Дважды брошена игральная кость. Случайная величина Х равна разности между числом очков при первом бросании и числом очков при втором бросании. Найдите закон распределения Х и вероятность события 2  Х  4.

3.12. Бросается игральная кость до первого появления шестерки. Случайная величина Х равна количеству бросаний кости. Найдите закон распределения случайной величины Х и вероятность события Х  5.

3.13. Дан закон распределения случайной величины Х:

xi	–3	0	1	5
pi	0,2	0,4	0,1	0,3

Составить законы распределения случайных величин и .

3.14. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка р₁, для второго – р₂. Пусть случайная величина х равна разности между числом попаданий в мишень первым стрелком и числом попаданий в мишень вторым стрелком. Найдите закон распределения Х.

3.15. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной общему числу попаданий в мишень.

3.16. Рабочий обслуживает 4 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,7, для второго – 0,75, для третьего – 0,8, для четвертого – 0,9. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу станков, которые не потребуют внимания рабочего.

3.17. На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них или разрешает, или запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

3.18. Вероятность изготовления нестандартной детали 0,1. Из партии контролер берет деталь и проверяет ее на стандартность. Если деталь оказывается нестандартной, то дальнейшие испытания прекращаются, а партия вся задерживается. Если же деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую и т.д., но всего он проверяет не более 5 деталей. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу стандартных деталей среди проверенных.

3.19. В ящике лежат n изделий, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу вынутых изделий.

3.20. Автоматическая телефонная станция обслуживает 1000 телефонных точек. Вероятность того, что в течение 5 мин на АТС поступит вызов из телефонной точки, равна 0,005. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу вызовов, поступивших на АТС в течение 5 мин. Чему равна вероятность того, что в течение 5 мин. а) на АТС поступит хотя бы один вызов; б) более 4 вызовов?

3.21. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,98. Для контроля наудачу взято 100 деталей. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу нестандартных деталей в выборке. Найдите вероятности следующих событий: А – в выборке менее двух нестандартных деталей; В – в выборке более двух нестандартных деталей.

3.22. В условиях предыдущей задачи найдите вероятность того, что среди 100 наудачу взятых деталей окажется одна нестандартная. Подсчет этой вероятности произведите: а) по формуле Бернулли с использованием логарифмических таблиц; б) по приближенной формуле Пуассона. Сравните полученные результаты.

3.23. Вероятность попадания в самолет при каждом выстреле из винтовки равна 0,001. Производится 3000 выстрелов. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу попаданий в самолет, и вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание.