3.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие вероятности :

.

Математическое ожидание также называют центром распределения случайной величины.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С)= С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

, где k = const.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

или .

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

или .

5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (уменьшится) математи­ческое ожидание этой случайной величины:

.

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

.

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

или , где .

Если случайная величина Х дискретная, то .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) σ_x случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

.

Свойства дисперсии случайной величины.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: , С = const.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

.

3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

или , где .

4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

или .

5. Если все значения случайной величины увеличить или уменьшить на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия при этом остается неизменной:

, С = const.

Пример 3.3.1. Из партии, содержащей 10 деталей, среди которых две бракованных, взяты наудачу три детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди трех отобранных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины X.

Решение. Так как бракованных деталей в партии только две, среди трех отобранных должна быть, по крайней мере, одна стандартная деталь. Следовательно, случайная величина Х может принимать три значения:

х₁ = 1 – только одна стандартная деталь среди трёх отобранных;

х₂ = 2 – только две стандартные детали среди трёх отобранных;

х₃ = 3 – все три отобранные детали стандартные.

Найдем соответствующие им вероятности. Число возможных наборов по три детали из 10 имеющихся, то есть число возможных исходов опыта, составляет

Найдем число исходов, благоприятствующих каждому значению случайной величины:

,

Тогда

Поэтому закон распределения имеет вид:

xi	1	2	3
pi	1/15	7/15	7/15

Используя найденный ряд распределения, получим: