3.2. Математические операции над случайными величинами

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Произведением kХ случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kх_i с теми же вероятностями р_i, (I = 1,2,...,n).

Квадратом или m-й степенью случайной величины X, то есть Х^m , называется случайная величина, которая принимает значения или с теми же вероятностями р_i, (I = 1,2,..., n).

Пример 3.2.1. Дана случайная величина

xi	-2	1	2
рi	0,5	0,3	0,2

Найти закон распределения случайных величин: а) Y = 3X; б)  .

Решение. а) Найдём значения случайной величины Y = 3Х:

;

;

с теми же вероятностями соответственно 0,5; 0,3; 0,2. Закон распределения случайной величины Y имеет вид:

уj	-6	3	6
рj	0,5	0,3	0,2

б) Значения случайной величины Z: ; ; с теми же вероятностями 0,5; 0,3; 0,2.

Так как значение Z = 4 может быть получено возведением в квадрат значений х₁ = –2 с вероятностью 0,5 и х₃ = 2 с вероятностью 0,2, то по теореме сложения Р(Z=4) = 0,5+0,2 = 0,7.

Получаем закон распределения случайной величины Z:

zi	1	4
рi	0,3	0,7

Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида x_i + у_j (x_i – у_j или x_i у_j, где i = 1,2, ...,п; j = 1,2,...,m), с вероятностями р_ij того, что случайная величина X примет значение х_i а Y — значение у_j.

Если случайные величины Х и Y независимы, то есть независимы любые события Х = x_i, Y = у_j, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий

.

Пример 3.2.2. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

X=xi	0	2	4		Y=уj	–2	0	2
рi	0,5	0,2	0,3		рj	0,1	0,6	0,2

Найти закон распределения случайных величин а) ; б) U=ХY.

Решение. Для удобства нахождения всех значений разности и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения разности , а в правом углу — вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин Х и Y.

	У	-2	0	2
Х	P	0,1	0,6	0,3
0	0,5	2 0,05	0 0,3	-2 0,15
2	0,2	4 0.02	2 0,12	0 0,06
4	0,3	6 0,03	4 0,18	2 0,09

Например, если (последняя строка таблицы), а (третий столбец таблицы), то случайная величина принимает значение с вероятностью

(эти числа Z = 6 и P = 0,03 находятся в клетке на пересечении последней строки и третьего столбца).

Так как среди 9 значений Z имеются одинаковые, то соответствующие вероятности их складываем по теореме сложения вероятностей. Например, значение может быть получено, когда Х = 0, (с вероятностью 0,05); Х = 2, (с вероятностью 0,12); Х = 4; (с вероятностью 0,09), поэтому

Р(Z = 2) = 0,15 + 0,12 + 0,09 = 0,26 и т.д.

В результате получим распределение

Z	–2	0	2	4	6
Р	0,15	0,36	0,26	0,20	0,03

Убеждаемся в том, что условие выполнено.

б) Распределение U=ХY находится аналогично п. а).

U	–8	–4	0	4	8
р	0,03	0,02	0,80	0,06	0,09