Частотные характеристики непрерывных систем управления

Цель работы: выработать навыки исследования и построения частотных характеристик линейных динамических моделей систем управления, заданных своими передаточными функциями в системе MATLAB.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

 

Линейные стационарные системы управления могут быть описаны в пространстве состояний и представлены через свои передаточные функции. Широкое использование передаточных функций обусловлено в немалой степени тем, что они напрямую связаны с частотными характеристиками систем управления. Эта связь вытекает из преобразований Лапласа и преобразования Фурье. Формально переход от передаточной функции W(s) с комплексной переменной s к частотной передаточной функции W(j) можно произвести при замене переменной s на переменную j.

В силу принципа суперпозиции для линейных систем можно рассматривать системы с одним входом и одним выходом. Пусть передаточная функция системы задана в общем виде:

 (9.1)

Подставляя в (9.1) j вместо s, получим частотную передаточную функцию

 (9.2)

где  – мнимая единица,  – круговая частота.

При фиксированной частоте  частотная передаточная функция (9.1) представляет собой комплексное число, которое можно представить в показательной и алгебраической формах (для каждого элемента передаточной функции, опуская индексы):

 (9.3)

где   – вещественная частотная характеристика,

 – мнимая частотная характеристика,

 – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

 – фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Вещественная частотная характеристика U() является четной функцией частоты , а мнимая частотная характеристика V() – нечетной.

Годограф передаточной функции   при   (обычно берут  ) называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ), а также амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ), или годографом Найквиста. АФЧХ строится на комплексной плоскости: по оси абсцисс откладывается вещественная часть  , а по оси ординат – мнимая часть  . Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки затем соединяются плавной кривой [1]. Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФХ, соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемой против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции.

АФХ дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия звена или системы отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвиг фаз между ними.

АФХ можно строить в полярной системе координат, вычисляя непосредственно модуль и фазу комплексной частотной передаточной функции и используя показательную форму представления комплексного числа, т. е. 

На рис. 9.1. представлена связь вещественных частотных функций, используемых для построения АФХ.

Рис. 9.1. Пример годографа W(j)

 

2. Амплитудно-частотная характеристика

 

Амплитудно-частотная характеристика показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания осуществляется по отношению амплитуд выходной и входной величин [1]. Амплитудно-частотная характеристика связана с частотной передаточной функцией соотношением

 (9.4)

В практических применениях амплитудно-частотную характеристику часто изображают в логарифмическом масштабе. В этом случае получают логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ, или ЛАХ). При ее построении по оси ординат откладывают величину

 (9.5)

единицей измерения которой является децибел. При этом по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Равномерной единицей на оси абсцисс является декада – любой отрезок, на котором значение частоты увеличивается в десять раз. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза  . Начало координат обычно помещают в точке  , так как lg1 = 0. Точка же   лежит в минус бесконечности (–). Однако в зависимости от интересующего диапазона частот начало координат можно брать в другой точке (  или другие). Следует иметь в виду, что значение оси абсцисс, при которой ЛАЧХ обращается в нуль, соответствует амплитуде А = 1, т. е. прохождению амплитуды сигнала через систему (звено) в натуральную величину.