2. Критерий устойчивости гурвица

 

Этот критерий предложен немецким математиком А. Гурвицем в 1895 г.

Критерий Гурвица также по коэффициентам характеристического уравнения данной системы управления позволяет сделать вывод об устойчивости или неустойчивости системы.

Пусть известно характеристическое уравнение исследуемой системы:

 (8.6)

По коэффициентам характеристического уравнения (8.6) составляется определитель Гурвица, например с именем G:

В определителе   пунктирными линиями размечены главные диагональные миноры определителя Гурвица.

Формулировка критерия Гурвица: для того чтобы система была устойчивой, т. е. все корни характеристического уравнения данной системы управления имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица были положительны, т. е.

 (8.8)

Приведем некоторые особые случаи [9].

Система находится на границе устойчивости, если все определители Гурвица низшего порядка положительные, а главный определитель равен нулю, т. е.

Если   а   то один из корней характеристического уравнения равен нулю (система находится на границе апериодической устойчивости), если же   а   то система находится на границе колебательной устойчивости (два комплексно сопряженных корня находятся на мнимой оси).

 

3. Критерий устойчивости льенара – шипара

 

В 1914 г. Льенаром и Шипаром был предложен критерий, упрощающий критерий Гурвица [9].

Приведем критерий Льенара – Шипара, принимая во внимание обозначения в критерии Гурвица, т. е. (8.8) и коэффициенты характеристического уравнения (8.6).

Формулировка критерия Льенара–Шипара: при   необходимые и достаточные условия сводятся к тому, чтобы среди определителей Гурвица (главных миноров)   были положительными все определители с четными индексами, т. е.

 (8.9)

или все определители с нечетными индексами

 (8.10)

Таким образом, необходимые и достаточные условия устойчивости системы следующие:

 (8.11)

или

 (8.12)

 

4. Анализ устойчивости линейных стационарных систем управления с помощью метода функций ляпунова (второй метод ляпунова)

 

Для линейных стационарных систем управления существование функции Ляпунова в виде квадратичной формыявляется одновременно необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости систем [9].

Квадратичная форма функции Ляпунова имеет вид

 (8.13)

где Q – симметричная и положительно-определенная матрица действительных чисел размера nn, n – размерность вектора состояния X(t).

Положительную определенность матрицы Q можно установить по критерию Сильвестра: все главные миноры матрицы должны быть положительны. Кроме того, у положительно-определенной матрицы все ее собственные числа положительные.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если существует положительно-определенная функция V(X) такая, что ее полная производная в силу уравнений движения данной системы отрицательно-определенная, то невозмущенное движение системы асимптотически устойчиво.

На практике решают следующую задачу: выбирают какую-либо положительно-определенную и симметрическую матрицу C и решают алгебраическое уравнение Ляпунова относительно искомой матрицы Q:

 (8.14)

где A – матрица коэффициентов системы управления размера nn.

Если в результате решения уравнения Ляпунова (8.14) будет найдена симметрическая положительно-определенная матрица Q, то это будет означать, что рассматриваемая система управления асимптотически устойчива, т. е. корни ее характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Обоснованность вышеприведенного анализа зависит от того, определяет ли уравнение (8.14) однозначно матрицуQ, если задана симметричная и положительная матрица C.

Справедливы следующие утверждения:

1)     если   собственных значений ₁, ₂, , _n матрицы   таковы, что,  , то из уравнения (8.14) при заданной матрице   матрица   определяется однозначно (достаточное условие устойчивости матрицы  );

2)     если матрица A устойчива (ее собственные числа имеют отрицательные действительные части) и матрица Cположительно-определенная, то матрица Q также положительно-определенная. (необходимое условие устойчивости матрицы A).

В системе MATLAB решение уравнения Ляпунова вида (8.14) определяется с помощью встроенной функции lyap(см. help lyap).