Анализ устойчивости линейных непрерывных систем управления

 

Цель работы: изучить алгебраические критерии устойчивости Рауса–Гурвица, Льенара–Шипара для линейных стационарных систем управления; освоить второй метод Ляпунова для анализа асимптотической устойчивости линейных систем.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Понятие «устойчивость» является чрезвычайно важным, поскольку данное свойство системы определяет факт ее работоспособности или неработоспособности [9]. Для того чтобы линейная стационарная система управления была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения

 (8.1)

были левыми [9], т. е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Если система описывается векторным уравнением вида

 (8.2)

то характеристическое уравнение может быть получено из следующего матричного уравнения:

 (8.3)

где Е – единичная матрица размера nn.

Для суждения об устойчивости нет необходимости вычислять корни характеристического уравнения (8.1). Достаточно лишь установить их расположение на комплексной плоскости. Правила, позволяющие это сделать без вычисления корней, называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости классифицируют на алгебраические и частотные. Критерии, которые позволяют определить устойчивость системы с помощью только алгебраических процедур над коэффициентами характеристического уравнения, называют алгебраическими. К ним относятся критерии устойчивости Рауса, Гурвица и другие. С помощью алгебраических критериев устойчивости в ряде случаев можно исследовать влияние устойчивости системы относительно ее параметров.

Частотный критерий устойчивости, впервые сформулированный Найквистом, был применен для устойчивости систем автоматического управления (САУ) А. В. Михайловым в 1936 г. Кроме того, последний сформулировал другой частотный критерий, получивший название критерия устойчивости Михайлова. Достоинством частотных критериев является их наглядность, а также возможность использовать частотные характеристики, полученные экспериментально, когда не известны дифференциальные уравнения системы или ее элементов.

 

1. Критерий устойчивости рауса

 

Этот критерий был разработан английским математиком Э. Раусом в 1877 г. Он применим для линейных стационарных систем управления. Описание системы может быть дано либо через передаточную функцию вида

 (8.4)

либо в пространстве состояний вида (8.2).

Характеристическое уравнение системы определяется или через полином знаменателя передаточной функции, или через матрицу А системы, представленной в пространстве состояний, т. е.

 (8.5)

С помощью критерия Рауса можно установить, будут ли все корни характеристического уравнения (8.5) располагаться в левой полуплоскости или часть корней будет находиться в правой полуплоскости комплексной плоскости корней. Сами значения корней при этом не вычисляются.

Анализ расположения корней характеристического полинома (т. е. левой части характеристического уравнения) на комплексной плоскости производится с помощью табл. 8.1, составленной из коэффициентов характеристического уравнения (8.5).

Таблица 8.1
Таблица Рауса
	1-й столбец	2-й столбец	3-й столбец			
					0	0
					0	0
	А1	A2	A3		0	0
	В1	B2	B3		0	0
	С1	C2	C3		0	0
						
s	Н1	0	0	0	0	0
	Z0	0	0	0	0	0

Элементы первых верхних строк таблицы Рауса заполняются коэффициентами данного характеристического полинома (8.5). Элементы остальных строк вычисляются через определители 2-го порядка следующим образом:

 

 

 

Как видно, элементы строк таблицы Рауса, начиная с третьей сверху, рассчитываются по элементам двух предыдущих строк. Осуществляется рекуррентное определение коэффициентов.

В таблице Рауса заполняется   строк таблицы, число столбцов при четном   равно (n + 2)/2, при нечетном   – (n + 1)/2 (остальные равны нулю). Число   соответствует высшей степени характеристического полинома.

Формулировка критерия Рауса: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты 1-го столбца таблицы Рауса при   были положительными. При этом число корней характеристического уравнения, лежащих в правой полуплоскости комплексной плоскости корней, равно числу перемен знака в 1-м столбце таблицы Рауса.

Необходимо рассмотреть четыре различных случая, относящихся к виду первого столбца таблицы Рауса, причем для каждого из них в отдельности должны быть указаны специфические правила вычисления элементов таблицы [3]:

1)     в первом столбце нет ни одного нулевого элемента (напрямую применяется критерий Рауса);

2)     в первом столбце имеется нулевой элемент, но некоторые другие элементы строки, содержащей нуль в первом столбце, отличны от нуля;

3)     в первом столбце имеется нулевой элемент, и все остальные элементы соответствующей строки также равны нулю;

4)     тот же случай, что и (3), но характеристический полином имеет кратные корни на мнимой оси.

Рассмотрим приведенные случаи, начиная со второго.

Случай 2. В первом столбце имеется нулевой элемент, но некоторые другие элементы строки, содержащей нуль в первом столбце, отличны от нуля.

Если только один элемент первого столбца равен нулю, то его можно заменить малым положительным числом , которое после завершения формирования таблицы необходимо устремить к нулю.

Случай 3. В первом столбце имеется нулевой элемент, и все остальные элементы соответствующей строки также равны нулю.

Этот случай возможен, когда все элементы какой-либо строки равны нулю или когда строка состоит из одного элемента, равного нулю. Такое может быть, когда корни характеристического полинома расположены симметрично относительно начала координат s-плоскости (комплексной плоскости), например, если полином содержит сомножители (s + )(s – ) или (s + j)(s – j). Возникшую при этом проблему можно решить путем использования вспомогательного полинома U(s), который образуется из элементов строки, предшествующей нулевой строке таблицы Рауса. Порядок вспомогательного полинома является четным и равен количеству симметричных корней.

Случай 4. Характеристический полином имеет кратные корни на мнимой оси.

Если корни характеристического уравнения, расположенные на мнимой оси, простые, то система не является ни устойчивой, ни неустойчивой – говорят, что она находится на границе устойчивости, так как в ней возникают незатухающие синусоидальные колебания. Если же корни на мнимой оси являются кратными, то реакция системы будет расходящейся, вида t*[sin(t + )]. В данном случае критерий Рауса такой вид неустойчивости обнаружить не может.