Синтез наблюдающих устройств полного порядка для линейных стационарных систем управления

 

Цель работы: освоить методы синтеза асимптотических наблюдающих устройств (наблюдателей) полного порядка для линейных стационарных непрерывных систем управления при отсутствии случайных помех; проанализировать динамические свойства систем управления с наблюдателем.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Рассмотренные в предыдущей лабораторной работе алгоритмы модального управления получены из условия, что для измерения доступны все переменные вектора состояния, что на практике случается достаточно редко. Поэтому актуальной становится задача восстановления переменных состояния X(t) объекта управления. Для решения такой задачи необходимо синтезировать устройство для получения оценок   вектора состояния X(t), т. е. построить наблюдатель, или наблюдающее устройство, или обсервер (в западной литературе), или асимптотический идентификатор состояния.

 

1. Наблюдатели полного порядка

 

Для системы, описываемой матричными дифференциальными уравнениями

 (6.1)

наблюдателем полного порядка является другая динамическая система, которая описывается матричным векторным уравнением

 (6.2)

где из условия   следует, что   при всех   и   [16]. Здесь   называют оценкой вектора  . Слова «полный порядок» указывают на то, что размерность вектора оценки   такая же, как и самого вектора состояния   в исходной системе (6.1).

Решение векторного уравнения (6.2) находится по известным входным   и выходным сигналам  .

Рассмотрим условия, из которых определяются матрицы F, G, H системы (6.2), и условия, при которых система (6.2) будет наблюдателем. Примем, что при  ,  .

Из уравнения (6.1) вычтем уравнение (6.2):

В соответствии с условием  ,   получим:

Запишем отдельно уравнение

 (6.3)

В уравнении (6.3) функции X(t) и U(t) являются линейно независимыми в том плане, что нельзя подобрать числовой коэффициент для всех моментов времени, чтобы одна функция выражалась через другую посредством умножения такого коэффициента на одну из функций, т.‎‎‎‎ е.  , где  – действительный коэффициент (одно число). В связи с этим уравнение будет выполняться только при одновременном равенстве нулю сомножителей при X(t) и U(t), т. е.

 (6.4)

С учетом (6.4) запишем уравнение наблюдающего устройства:

 (6.5)

Раскрывая скобки в (6.5), получим

 (6.6)

где   – матричный коэффициент усиления наблюдателя размера n×m.

Таким образом, матричные дифференциальные уравнения (6.5) или (6.6) описывают динамику наблюдающего устройства полного порядка.

Учитывая условия  ,   получения уравнений (6.5) или (6.6), наблюдатели (6.5) или (6.6) называютасимптотическими наблюдателями, или асимптотическими идентификаторами состояния.

В задачу синтеза наблюдателя полного порядка входит определение матрицы усиления наблюдателя G.

 

2. Синтез наблюдателя полного порядка с одним выходом

 

Система управления описывается уравнениями

 (6.7)

где С – матрица размера 1×n, А, В – матрицы размерностей n×n, n×r.

Синтез наблюдателя полного порядка выполним на основе модального подхода. Рассмотрим дуальную систему

 (6.8)

где   – вектор-столбцы размерностей n×1, 1×1, r×1.

Система (6.8) – это система с одним входом, для нее при условии полной управляемости можно синтезировать модальное управление:

 (6.9)

Условие полной управляемости (6.9) для системы (6.8) в то же время является условием полной наблюдаемости исходной системы (6.7).

Модальное управление для системы (6.8) имеет вид

 (6.10)

где  – вектор-строка размера 1×n.

Система (6.8), замкнутая на управление (6.10), приобретает вид

 (6.11)

Для устойчивости системы (6.11) необходимо и достаточно, чтобы характеристическое уравнение системы имело отрицательные действительные части, т. е.

 (6.12)

где s – переменная характеристического уравнения, Е – единичная матрица размера n×n.

Рассмотрим общее уравнение наблюдающего устройства (6.6) в виде

 (6.13)

где G – матрица усиления наблюдающего устройства.

Для системы (6.13) составим характеристическое уравнение:

По свойству определителей он не изменится для транспонированной матрицы, т. е.

 (6.14)

Поскольку наблюдающее устройство должно обеспечивать асимптотическую оценку вектора состояния, то корни характеристического уравнения (6.14) должны быть левыми, т. е. располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Из сравнения (6.12) и (6.14) следует, что   или

 (6.15)

Таким образом, синтез матрицы усиления наблюдающего устройства можно провести по схеме синтеза матрицы модального регулятора для дуальной системы. Для этого необходимо дуальную систему (6.8) привести к каноническому виду

 (6.16)

где

 (6.17)

где   – коэффициенты характеристического уравнения исходной системы (6.7).

Переход от системы (6.8) к системе (6.16) с матрицами (6.17) осуществляется на основе преобразования подобия

 (6.19)

где

 (6.21)

 (6.20)

 Коэффициенты матрицы   модального регулятора для канонической системы (6.16) будут определяться из соотношений:

 (6.21)

где   – коэффициенты желаемого характеристического уравнения, которое определяется по желаемым корням.

С учетом соотношения (6.18) получим

 (6.22)

где 

С учетом (6.15), (6.21) будем иметь

 (6.23)

где матрица G имеет размерность n×1.