3. Представление в пространстве состояний объекта управления по рекуррентным соотношениям

 

Описание объекта управления с помощью одного дифференциального уравнения порядка n с производными от входных сигналов можно принять в виде, когда наибольшая степень производной левой части равна такой же степени производных в правых частях дифференциального уравнения. При необходимости соответствующие коэффициенты перед производными в правой части можно принять равными нулю.

Рассмотрим следующую форму описания объекта управления с двумя входными воздействиями и с производными от них:

 

 (4.21)

Дифференциальное уравнение (4.21) порядка n можно привести к нормальной системе уравнений вида

 (4.22)

где Z = [z₁, z₂, … , z_n]^T – вектор состояния размерности n,

,

– подлежат определению,

Элементы матрицы В определяются из следующих рекуррентных соотношений [21]:

 (4.23)

 (4.24)

Система (4.22) в развернутом виде имеет вид

 (4.25)

Для приведенного преобразования принималось, что

x(t) = z₁(t) + B₀u₁(t) + G₀u₂(t). (4.26)

Для решения системы уравнений (4.25) следует задать начальные условия, которые будут определяться по начальным условиям для соответствующего уравнения высокого порядка.

Стабилизация линейных стационарных систем управления

 

Цель работы: изучить методы стабилизации линейных стационарных систем управления на основе модального подхода; проанализировать динамические процессы в системах с модальным управлением (стабилизирующим регулятором состояния).

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Если анализ линейной модели объекта управления показал, что решения соответствующей системы дифференциальных уравнений являются неустойчивыми (или часть решений неустойчивы), то с математической точки зрения это означает, что характеристический полином системы дифференциальных уравнений (или одного уравнения высокого порядка) имеет корни с неотрицательными действительными частями. В этом случае возникает задача стабилизации неустойчивого объекта управления. Кроме того, для устойчивого объекта может решаться задача изменения его собственных движений, т. е. изменений переходных процессов, отображающих решение дифференциальных уравнений.

Необходимым топологическим условием изменения расположения корней характеристического полинома является образование контура, содержащего объект управления [18]. В зависимости от формы представления модели объекта и требований к собственным движениям системы могут быть применены различные методы синтеза [18].

В данной лабораторной работе рассматривается синтез модального управления, с помощью которого осуществляется заданное расположение корней характеристического уравнения синтезированной системы. Синтез осуществляется для систем управления, заданных в пространстве состояний.

 

1. Синтез модального управления для систем с одним входом

 

Пусть объект управления описан дифференциальными уравнениями в нормальной форме Коши (в форме пространства состояний):

 (5.1)

где X(t) – n-мерный вектор состояния, u(t) – скалярное входное воздействие формально размера 1×1, А – матрица размера n×n, В – матрица размера n×1, Y(t) – m-мерный вектор выхода, С – матрица размера m×n.

Если доступны для измерения все переменные состояния, то для решения задачи размещения корней характеристического полинома управление формируется как линейная комбинация переменных состояния:

 (5.2)

где   – матрица-строка размера 1×n, матрица обратной связи, матрица модального регулятора. Управление (5.2) называется модальным управлением.

Синтезированная система с модальным управлением (5.2) будет иметь вид

 (5.3)

Динамика системы (5.3) будет определяться собственными числами матрицы  , которые можно задать по желанию с помощью подбора элементов матрицы  .

Синтез сначала производится для канонической, а потом для исходной системы (5.1) на основе неособого линейного преобразования  которое определяется матрицей   по формулам:

 (5.4)

где А, В – матрицы системы (5.1).

Существование обратной матрицы в (5.4) означает, что исходная система (5.1) полностью управляемая (по Калману).

Для системы (5.3) с матрицей   потребуем, чтобы собственные числа матрицы лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, что будет гарантировать устойчивость системы (5.3). Напомним, что собственные числа квадратной матрицы определяются из уравнения

 (5.5)

где s – в общем случае комплексная переменная, Е – единичная матрица того же размера, что и матрица А.

Для системы (5.3) собственные числа матрицы   определяются из уравнения

 (5.6)

Потребуем, чтобы желаемые собственные числа (корни) удовлетворяли уравнению (5.6). Тогда характеристический полином, которому будут удовлетворять желаемые собственные числа, может быть получен из уравнения

 (5.7)

где n – порядок системы (5.3), s_i – желаемые собственные числа, 

Раскрывая (5.7) по степеням s, получим желаемый характеристический полином

 (5.8)

где d_i – коэффициенты желаемого характеристического полинома.

С помощью неособого преобразования – преобразования подобия – по матрице N (5.4) представим исходную систему (5.1) в каноническом виде:

 (5.9)

где а₀, а₁, … , а_n–1 – коэффициенты характеристического уравнения (5.5) исходной системы (5.1), u – управляющее воздействие, что и для исходной системы (5.1).

Еще раз отметим, что вектор состояния Z(t) системы (5.9) связан с вектором состояния Х(t) исходной системы через матрицу N:

Z(t) = NX(t). (5.10)

Запишем систему уравнений (5.9) в матричном виде:

 (5.11)

где

 (5.12)

Используем свойство преобразования подобия, которое не меняет собственных чисел матрицы коэффициентов исходной и преобразованной систем, не меняет характеристический полином, т. е. не меняет коэффициентов характеристического полинома. Следовательно, коэффициенты характеристического полинома исходной системы (5.1) и системы (5.11) имеют одни и те же значения:   

Сначала синтезируем стабилизирующее управление (модальное управление) для системы (5.11) с матрицами (5.12). Для этого определим управление в виде

 (5.13)

где   – матрица обратной связи размера 1×n.

С управлением (5.13) система (5.11) приобретает вид

 (5.14)

Для дальнейшего изложения определим произведение матриц  , используя (5.12) и выражение для  :

 (5.15)

 

Замкнутая система (5.14) должна иметь предварительно заданные собственные числа матрицы коэффициентов при векторе состояния Z. Запишем характеристическое уравнение для определения собственных чисел матрицы  :

 (5.16)

Раскрывая (5.16), получим

 (5.17)

Перепишем (5.17) в виде

(5.18)

Последнее уравнение (5.18) составлено для канонической системы, куда входят неизвестные пока элементы матрицы регулятора  . Если потребовать, чтобы корни характеристического уравнения (5.18) были заранее заданными – желаемыми, то тогда по характеристическому уравнению (5.8) можно также составить характеристическое уравнение в матричном виде для канонической матрицы, т. е.

 (5.19)

По условию равенства корней двух характеристических уравнений (5.18) и (5.19) следует, что

 (5.20)

Из (5.20) найдем   и, следовательно,  :

 (5.21)

Таким образом, модальное управление для канонической системы (5.11) определяется в виде

 (5.22)

где   находятся по (5.21).

В соответствии с (5.10) управление (5.22) преобразуется к виду

 (5.23)

где   а матрица N вычисляется по соотношениям (5.4).

Перечислим основные этапы синтеза модального управления:

1)     проверяется полная управляемость исходной системы (по критерию Калмана);

2)     по известной модели исходной (заданной) системы составляется характеристическое уравнение с целью определения его коэффициентов, т. е. 

3)     вычисляется матрица преобразования подобия N;

4)     задаются желаемые собственные числа синтезированной системы;

5)     по желаемым собственным числам синтезированной системы составляется характеристическое уравнение с целью определения его коэффициентов, т. е. 

6)     определяются элементы матрицы модального управления для канонической системы  ;

7)     определяются элементы матрицы модального управления для исходной системы 

8)     исходная система замыкается на матрицу модального управления.

9)     для замкнутой системы проверяются ее собственные числа, которые должны быть равны желаемым.