Преобразование формы моделей линейных стационарных систем управления

 

Цель работы: освоить методы преобразования различных форм описания линейных стационарных систем управления в пространстве состояний; проанализировать способы перехода к описанию в виде систем линейных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

В данной лабораторной работе рассматриваются методы преобразования дифференциальных уравнений высокого порядка к системам дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши [17].

 

1. Переход к описанию в нормальной форме коши для объекта с одним входом и без входных производных

 

Если объект управления высокого порядка описывается дифференциальным уравнением вида

 (4.1)

где х – выходная координата объекта управления, u – входное воздействие (скалярное управление), а_i , i = 1, 2, . . . , (n–1) – действительные коэффициенты, k – статический коэффициент передачи (усиления), то его можно привести к описанию в виде систем дифференциальных уравнений:

 (4.2)

Описание (4.2) соответствует матричной записи

 (4.3)

где

 

 

 

 (4.4)

Описанию (4.1) можно противопоставить операторную форму записи, положив  :

 (4.5)

В соответствии с описанием (4.5) можно определить операторную передаточную функцию W(s):

. (4.6)

Примечание. Для линейных стационарных систем управления операторная передаточная функция совпадает с передаточной функцией, определенной с помощью прямого преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях.

 

2. Переход к описанию в нормальной форме коши для объекта, заданного передаточной функцией с ненулевым полиномом числителя

 

Если объект управления описывается передаточной функцией вида

 (4.7)

то это означает, что соответствующее дифференциальное уравнение, связывающее вход (u) объекта и его выход (х), имеет вид

 (4.8)

Запишем уравнение (4.8) в операторной форме, полагая  :

 (4.9)

Поскольку полиномы в (4.9) не являются векторно-матричными, то произведем их обращение:

 (4.10)

Введем новую переменную z₁ в соответствии со следующими соотношениями, вытекающими из (4.10):

 (4.11)

 (4.12)

Умножая обе части уравнения (4.12) на полином

получим

 (4.13)

Соотношение (4.13) – это операторная форма записи следующего дифференциального уравнения:

 (4.14)

От дифференциального уравнения высокого порядка, каким является (4.14), можно перейти к системе дифференциальных уравнений первого порядка, полагая z = x₁:

 (4.15)

где x₁, x₂, … , x_n – переменные состояния, u – входное воздействие (как и для исходного объекта управления).

Описание (4.15) соответствует канонической форме описания линейных динамических систем в пространстве состояний.

В соответствии с (4.11), т. е.

можно установить связь между выходной координатой х исходного описания объекта и переменными состояния новой системы (4.15), учитывая, что z = x₁:

 (4.16)

Таким образом, решение дифференциального уравнения высокого порядка (4.8) с производными от входного воздействия (в правой части уравнения) можно свести к решению канонической системы уравнений (4.15) относительно новых переменных и затем определить по уравнению связи (4.16) решение исходного уравнения.

Для решения системы дифференциальных уравнений (4.15) необходимо задать начальные условия по переменнымx_i, которые должны быть связаны с начальными условиями по выходной координате и ее производным, а также по входному воздействию и его производным, т. е.

 (4.17)

Начальные условия по новым переменным можно определить по установленной связи между выходной координатой исходного объекта и новыми переменными состояния в соответствии с соотношением (4.16). Соотношение (4.16) следует последовательно дифференцировать по независимой переменной t с подстановкой:

. (4.18)

Как только при очередном дифференцировании возникнет производная dx_n/dt, вместо нее следует подставить последнее уравнение системы (4.15) для начального момента времени

 (4.19)

При последующем дифференцировании потребуются производные от входного воздействия для начального момента времени, т. е.

 (4.20)