3. Исследование устойчивости дискретных систем методом функций ляпунова

 

Метод функций Ляпунова называется также вторым методом Ляпунова. Он является универсальным инструментом исследования устойчивости нелинейных нестационарных систем [9]. Метод был разработан для систем, описываемых дифференциальными уравнениями, и позднее распространен для систем, описываемых разностными уравнениями.

Основная трудность при использовании данного метода состоит в построении подходящей функции Ляпунова.

Скалярная функция V(X) является функцией Ляпунова для системы

X_k+1 = F(X_k), F(0) = 0, (15.14)

если:

1)     она непрерывна по Х и V(0) = 0;

2)     V(X) > 0 при любых Х  0;

3)     V(X) = V(X_k+1) – V(X_k) = V(F(X_k)) – V(X_k) < 0.

Третье условие выражает то, что первая конечная разность отрицательна.

Система управления является устойчивой по Ляпунову, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движение системы ограничено. Для линейных систем устойчивость системы являются асимптотически устойчивой.

Для автономных линейных систем существование функции Ляпунова в виде квадратичной формы – необходимое и достаточное условие равномерной асимптотической устойчивости в целом.

Пусть свободное движение дискретной системы описывается разностным векторным уравнением

 (15.15)

Введем функцию Ляпунова в виде квадратичной формы

 (15.16)

где  .

Вычислим первую разность для заданной функции Ляпунова в силу уравнений (1.15) (которая должна быть отрицательно-определенной):

Первая разность получилась в виде квадратичной формы. Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно существование положительно-определенной матрицы  , удовлетворяющей уравнению (условие отрицательно-определенной квадратичной формы для первой разности)

 (15.17)

где G – произвольная матрица.

Функция   будет функцией Ляпунова, если в результате решения уравнения (15.17) матрица Н будет симметрической и положительно-определенной. В этом случае все собственные числа матрицы коэффициентов   лежат внутри единичной окружности, т. е. система будет устойчивой.

Уравнение (15.17) называется уравнением Ляпунова для дискретных линейных систем.

Таким образом, исследование устойчивости линейной дискретной системы сводится к решению линейного уравнения Ляпунова относительно матрицы Н при заданной матрице коэффициентов системы  .

Синтез цифровых систем управления по заданному расположению полюсов с помощью обратной связи по состоянию

 

Цель работы: овладеть методикой синтеза матрицы обратной связи по состоянию для линейной цифровой системы управления на основе преобразования к канонической форме фазовой переменной.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Заданное расположение полюсов обычно устанавливается пользователем из условия устойчивости цифровой системы,  т. е. когда полюса находятся внутри круга единичного радиуса. В данной лабораторной работе не обсуждается вопрос о влиянии заданного расположения полюсов на вторичные показатели качества переходного процесса системы.

Рассматривается линейная цифровая система управления с математическим описанием вида [8]

 (16.1)

где   – n-мерный вектор состояния;   – скалярная входная переменная; А – матрица действительных коэффициентов размерности nn; B – матрица действительных коэффициентов размерности n1.

Решение разностного матричного уравнения типа (16.1) определяется по выражению

 (16.2)

Если система (16.1) полностью управляемая, то nn матрица

 (16.3)

является невырожденной, т. е. det S  0.

При выполнении условия полной управляемости системы с помощью невырожденного преобразования

 (16.4)

систему управления общего вида (16.1) возможно преобразовать к канонической форме фазовой переменной

 (16.5)

где

 (16.6)

 – коэффициенты характеристического уравнения,

 (16.7)

Матрица преобразования N задается в виде

 (16.8)

где

 (16.9)

Полюса системы могут быть произвольно заданы с помощью обратной связи по состоянию

 (16.10)

где

 (16.11)

 – действительные константы.

Система (16.1) с управлением (16.10) принимает вид

 (16.12)

Характеристическое уравнение для замкнутой системы (16.12) имеет вид

 (16.13)

где Е – единичная матрица размера nn.

Подстановка выражений (16.6), (16.7) и (16.11) в характеристическое уравнение (16.13) дает

 (16.14)

Раскрыв определитель (16.14), получим характеристическое уравнение замкнутой системы:

 (16.15)

Если задать желаемые корни характеристического уравнения замкнутой системы, то можно получить желаемое характеристическое уравнение:

 (16.16)

где   – коэффициенты характеристического уравнения, определяемые по заданным желаемым корням из уравнения

 (16.17)

 (16.18)

Если требуется синтезировать устойчивую цифровую систему, то корни характеристического уравнения (16.16) или (16.17) должны лежать в круге единичного радиуса.

Схема моделирования цифровой системы управления с обратной связью по состоянию приведена на рис. 16.1, где 1/z – элемент задержки.

Рис. 16.1. Схема цифровой системы с обратной связью по состоянию