Анализ устойчивости линейных цифровых систем управления

 

Цель работы: определить устойчивость линейных стационарных дискретных систем управления на основе билинейного преобразования, критерия устойчивости Джури и метода функций Ляпунова.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Пусть дискретная система управления описывается конечно-разностными уравнениями в пространстве состояний:

 (15.1)

где  – вектор состояния размерности n1,   – вектор входных управляющих воздействий размерности r1,   – постоянная матрица размера nn,   – постоянная матрица размера nr, T – шаг квантования (период дискретизации), k = 0, 1, 2, 

Для постоянного шага квантования Т уравнение состояния записывают в следующем виде:

 (15.2)

Характеристическое уравнение системы (15.1) или (15.2) определяется из выражения

 (15.3)

где Е – единичная матрица.

Раскрывая определитель (15.3), получим

 (15.4)

Применяя к уравнению (15.2) Z-преобразование, можно получить описание системы с помощью Z-передаточных функций. В частности, если система с одним входом и одним выходом, то Z-передаточная функция будет иметь следующий вид:

 (15.5)

где   – действительные постоянные коэффициенты.

Для передаточной функции (15.5) условие n  m означает ее физическую реализуемость [8].

Характеристическое уравнение системы с описанием (15.5) – это знаменатель передаточной функции, приравенный к нулю, т. е.

 (15.6)

Поделив обе части уравнения (15.6) на a_n, получим такой же вид уравнения, что и (15.4).

Определение. Линейная стационарная дискретная система устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы   или корни ее характеристического уравнения лежат внутри единичного круга, т. е.

 (15.7)

Условие (15.7) означает, что переходная составляющая решения конечно-разностного уравнения (15.1) стремится к нулю при k  .

Для определения устойчивости линейных стационарных дискретных систем управления существуют различные методы, в том числе [9]:

        метод, основанный на вычислении корней характеристического уравнения;

        алгебраические методы;

        метод анализа в частотной области;

        метод функций Ляпунова.

Далее будут рассмотрены алгебраические методы устойчивости и метод функций Ляпунова.

 

1. Билинейное преобразование

 

Известные критерии устойчивости для линейных непрерывных систем могут быть применены и для дискретных систем, если преобразовать внутренность единичного круга комплексной z-плоскости в левую полуплоскость некоторой новой комплексной переменной . Взаимосвязь между - и z- плоскостями осуществляется на основе конформного отображения Мебиуса или билинейного преобразования (или -преобразования), известного из теории функций комплексного переменного [1, 8, 9]:

 (15.8)

Если характеристическое уравнение исследуемой дискретной системы имеет вид (15.6), т. е.

 (15.9)

то, подставляя z из (15.8) в (15.9), получим

Приводя к общему знаменателю, будем иметь

Из последнего выражения получаем характеристическое уравнение относительно комплексной переменной :

 (15.10)

Произведенный переход к новой комплексной переменной позволяет использовать методы анализа устойчивости линейных стационарных непрерывных систем (алгебраические, Михайлова, Найквиста, корневой и т. п.) для определения устойчивости дискретной системы [9]. В частности, при использовании критериев устойчивости Рауса или Гурвица следует принимать во внимание характеристическое уравнение (15.10), по коэффициентам которого составляется таблица Рауса или определитель Гурвица.