Частотные свойства и характеристики дискретных систем управления

 

Цель работы: проанализировать линейные дискретные системы управления в частотной области, изучить и построить частотные характеристики в системе MATLAB.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Систему, содержащую, по крайней мере, один элемент, выходным сигналом которого является дискретный сигнал, принято называть дискретной.

Если в системе происходит дискретизация сигнала по уровню и по времени, такая система является цифровой. В современных вычислительных системах и устройствах квантованием по уровню сигнала часто можно пренебречь. Тогда математическое описание цифровой системы совпадает с математическим описанием импульсной, в которой учитывается только дискретизация по времени. В дальнейшем описание цифровой системы рассматривается для случая амплитудно-импульсной модуляции непрерывных сигналов. Дискретизация по времени называется также квантованием по времени.

Определение. Квантование является периодическим, если его моменты отделены друг от друга равными промежутками времени, т. е. t_n = nT, где Т – период квантования (f₀ = 1/T [Гц] – частота квантования) [9].

Для круговой частоты повторения импульсов будем иметь

Сущность частотного метода заключается в том, что о качестве линейной стационарной системы судят по ее установившейся реакции на гармонические сигналы [8].

В линейных цифровых (импульсных) системах квантователь (импульсный элемент) независимо от того, является он реальным или фиктивным, действует как генератор гармоник, поэтому реакция системы на синусоидальный (гармонический) сигнал может содержать высшие гармоники (сигналы с высокими частотами).

Для цифровых (дискретных) систем управления соответствующий анализ в частотной области связан с заменой:

 (14.1)

т. е. на z-плоскости (комплексной плоскости) рассматриваются только точки, расположенные на единичной окружности |z | = 1, где Т – период (шаг) квантования,  – круговая частота [8].

Если задана некоторая передаточная функция цифровой системы W(z), то имеет место тождество

 (14.2)

где   – импульсная передаточная функция, получаемая в результате применения к дискретной системе преобразования Лапласа.

Для перехода в частотную область следует подставить (14.1) в (14.2), соответственно  , т. е.

 (14.3)

В результате произведенной замены аргумента передаточной функции получили комплексный коэффициент передачи импульсной (цифровой) системы [18]. Выражение (14.3) называется также частотной функцией.

Если известна передаточная функция W(s) приведенной непрерывной части системы управления, то при замене s наj связь между частотными функциями непрерывной и дискретной систем примет вид [6, 8, 9]:

 (14.4)

Формула (14.4) показывает, что для определения амплитудно-фазочастотной характеристики (АФЧХ) дискретной системы необходимо просуммировать соответствующие характеристики приведенной непрерывной части, смещенные наk.2/T, k = 0, ±1, ±2,  .

Пусть передаточная функция дискретной системы имеет вид

Сделав замену  , получим комплексный коэффициент передачи:

 (14.5)

Полученное выражение (14.5) можно представить в алгебраической или показательной форме, т. е.

 (14.6)

где   – соответственно вещественная, мнимая, амплитудная и фазовая частотные характеристики дискретной системы. Выражения для перечисленных характеристик:

 (14.7)

 (14.8)

 (14.9)

 (14.10)

где Т – шаг квантования (период дискретизации).

Применив формулу Эйлера для экспоненты, получим

 (14.11)

Следует отметить основные особенности частотных характеристик дискретных систем [18]:

1)     частотные характеристики дискретных систем (импульсных, цифровых) являются периодическими функциями относительно круговой частоты  с периодом повторения   Это означает, что при построении данных характеристик достаточно ограничиться изменением  в диапазоне шириной  , например от   до  . Если же учесть, что участки частотной характеристики в диапазонах изменения  от   до 0 и от 0 до   симметричны (поскольку   и   – комплексные сопряженные функции), то можно ограничиться построением частотной характеристики в интервале изменения частоты  от 0 до  ;

2)     амплитудно-фазовые частотные характеристики дискретной системы заканчиваются на вещественной оси, так как для   комплексный коэффициент передачи (14.4) всегда является действительным числом.

 Периодичность частотной передаточной функции следует из (14.4), поэтому можно записать

 (14.12)

Если ввести относительную (нормированную) частоту по формуле

 (14.13)

 

и подставить в (14.1), то получим

 (14.14)

Тогда, например, для (14.12) будем иметь

 (14.15)

С учетом замены (14.13) амплитудно-частотная и фазовая частотная характеристики (14.9), (14.10) принимают следующий вид:

 (14.16)

 (14.17)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяет изменение амплитуды гармонического сигнала на заданной частоте при его прохождении через систему, фазочастотная характеристика – сдвиг фазы гармонического сигнала на выходе системы по отношению к исходной фазе гармонического сигнала на входе [9].

Определение. Передаточная функция дискретной системы представляет собой Z-преобразование импульсной переходной функции дискретной системы

 (14.18)

где   – импульсная переходная функция приведенной непрерывной части системы, определенная в моменты квантования, Т – шаг квантования.

В случае применения дискретного преобразования Лапласа передаточная функция принимает вид

 (14.19)

Подставляя в (14.18)  , получим частотную функцию дискретной системы:

 (14.20)

Переходя к нормированной частоте в (14.20), получим

 (14.21)

Следует отметить, что при уменьшении периода дискретизации (шага квантования) Т круговая частота  , на которую смещаются частотные передаточные функции при своем суммировании, увеличивается.

Если для частотной характеристики приведенной непрерывной части выполняется условие

 при   (14.22)

где  , то в полосе частот   частотные характеристики приведенной непрерывной части и дискретной системы полностью совпадают [9]. Для амплитудно-частотной характеристики совпадение выполняется с точностью до коэффициента 1/Т. Причина – «неналожение» частотных характеристик приведенной непрерывной части друг на друга.

На частотах   АЧХ дискретной системы является зеркальным отражением своей части в полосе частот   [9].