Моделирование и исследование цифровых систем управления

 Цель работы: проанализировать линейные стационарные системы управления с дискретным временем.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Любая система автоматического регулирования и управления представляет собой совокупность элементов, предназначенных для преобразования сигналов, поступающих на ее вход, чтобы обеспечить выполнение цели управления [4]. Если на вход всех элементов системы поступают сигналы, которые могут быть описаны непрерывными функциями времени, система называется непрерывной. Система, содержащая, по крайней мере, один элемент, выходным сигналом которого является дискретный сигнал, называется дискретной.

Дискретный сигнал – это такой сигнал, который определяется последовательностью значений а₀, а₁, а₂, , а_n,  .Сигналы могут быть дискретными по уровню, по времени, а также одновременно по уровню и по времени.

В зависимости от способов получения дискретных сигналов может быть введена следующая классификация дискретных систем [4, 18]:

1)    импульсная система – это система, в которой используются сигналы, дискретные по времени;

2)    релейная система – это система, в которой используются сигналы, дискретные по уровню;

3)    цифровая система – это система, в которой используются сигналы, дискретные как по времени, так и по уровню.

На рис. 13.1 показана идеализированная амплитудно-импульсная модуляция непрерывного сигнала на основе идеальных импульсов, ширина которых бесконечна малая, а высота равна значениям непрерывного сигнала в дискретные моменты времени. Если f(t) есть непрерывный сигнал, то выделение дискретных значений f(kT) называется квантованием сигнала f(t) по времени с постоянным шагом квантования или периодом дискретизации Т. В то же времяf(kT) называют решетчатой функцией. Другим видом импульсной модуляции является широтно-импульсная модуляция, при которой амплитуда импульсов постоянная, а их ширина пропорциональна в некоторых пределах значениям f(kT). Еще возможна фазоимпульсная модуляция сигнала, которая осуществляется за счет смещения импульсов в пределах шага квантования Т. Величина смещения пропорциональна значениям f(kT).

 

Рис. 13.1. Идеальное квантование непрерывного сигнала по времени

Квантование (дискретизация) непрерывного сигнала по уровню с шагом h показано на рис. 13.2. Оно может быть получено, если преобразовать непрерывный сигнал с помощью многоступенчатого релейного устройства. Дискретный по уровню сигнал, представленный на рис. 13.2, может быть описан в соответствии с выражением [4]:

При квантовании по уровню в произвольные моменты времени выделяются значения непрерывного сигнала при достижении им фиксированных дискретных уровней [18]. Как отмечалось, квантование по уровню характерно для релейных систем автоматического управления, которые представляют собой достаточно большой класс динамических систем, в состав которых входят нелинейные звенья с разрывной характеристикой. Основными достоинствами релейных систем автоматического управления является их простота, связанная с ней высокая надежность, а также экономичность в расходе энергии питания. В то же время к ним не могут быть применены методы анализа и синтеза гладких систем.

Рис. 13.2. Квантование непрерывного сигнала по уровню

Характер квантования по уровню и по времени непрерывного сигнала показан на рис. 13.3. В этом случае непрерывный сигнал f(t) заменяется фиксированными дискретными (по уровню) значениями, ближайшими к значениям непрерывной функции f(t) в дискретные моменты времени 0, Т, 2Т,  . Квантование по уровню и по времени осуществляется в цифровых системах управления при преобразовании непрерывных сигналов в цифровую форму или в коды. Если цифровое устройство оперирует с числовым представлением со значительным количеством разрядов (что характерно для современных компьютеров), то квантованием по уровню можно пренебречь. Тогда цифровую систему можно рассматривать как импульсную систему с амплитудно-импульсной модуляцией.

Рис. 13.3. Квантование сигнала по уровню и по времени

Цифровая система управления включает объект управления (обычно непрерывный объект или процесс), чувствительные элементы (или датчики), аналого-цифровой преобразователь (АЦП), цифровое вычислительное устройство (микропроцессор или компьютер) и цифроаналоговый преобразователь (ЦАП). Функциональная схема цифровой системы управления показана на рис. 13.4.

На схеме (рис. 13.4) непрерывный выходной сигнал объекта управления (ОУ) через чувствительный элемент (ЧЭ) поступает в аналого-цифровой преобразователь (АЦП), где квантуется в моменты времени t_k (т. е. преобразуется в цифровую форму) и обрабатывается в соответствии с алгоритмом управления в цифровом вычислительном устройстве (ЦВУ). Управляющая цифровая последовательность преобразуется цифроаналоговым преобразователем (ЦАП) в аналоговое воздействие u(t) объекта управления. Без учета квантования по уровню (что возможно для современных вычислительных устройств) цифровую систему управления можно представить в виде системы (рис. 13.5), состоящей из прерывателя (квантователя по времени), дискретного фильтра (ДФ), фиксатора нулевого порядка (ФНП) и непрерывной части системы (НЧ) [6].

Прерыватель является моделью АЦП и преобразует непрерывный сигнал x(t) в дискретный сигнал x(kT).

Дискретный фильтр представляет собой модель ЦВУ и характеризуется дискретной передаточной функцией – передаточной функцией регулятора.

В качестве ЦАП чаще всего используется фиксатор нулевого порядка – элемент, который запоминает входной дискретный сигнал на один период Т – до прихода следующего дискретного сигнала.

Особенность замкнутой цифровой системы заключается в том, что между моментами дискретизации система управления является разомкнутой.

В качестве динамической модели АЦП можно рассматривать идеальный квантователь (импульсный элемент ИЭ), показанный на рис. 13.6.

Замыкание ключа импульсного элемента происходит каждые kT единиц времени, где Т – шаг квантования, k = 0, 1, 2,  .

В качестве динамической модели ЦАП можно рассматривать последовательное соединение идеального импульсного элемента и экстраполятора того или иного порядка (рис. 13.7).

 

 

Для математического описания цифровой системы в дискретные моменты времени на выходе непрерывной части системы (непрерывного объекта) «добавляют» фиктивный импульсный элемент (ФИЭ). Тогда преобразование непрерывной части системы управления к дискретному виду возможно на основе схемы, представленной на рис. 13.8.

На схеме (рис. 13.8) вход системы x(t) – непрерывный во времени сигнал, сигнал после импульсного элемента x^*(t) – модулированный сигнал в соответствии с выражением

 (13.1)

где   – дельта-функция Дирака, Т – шаг квантования.

Соответственно на выходе системы y(t) – непрерывный выходной сигнал, сигнал после фиктивного импульсного элемента y^*(t) – модулированный сигнал в соответствии с выражением

 (13.2)

Если для непрерывной системы известна весовая, или импульсная переходная функция k_u(t), то выход фиктивного импульсного элемента будет описываться следующим выражением [8]:

 (13.3)

Для моментов времени t = nT, когда к входу системы приложен дискретный сигнал x(kT), дискретный сигнал на выходе фиктивного импульсного элемента будет определяться в виде [8]

 (13.4)

Для получения Z-передаточной функции W(z) цифровой (импульсной) системы необходимо найти Z-изображение выхода дискретной системы (13.2) и Z-изображение ее входа (13.1) и составить отношение при нулевых начальных условиях, т. е.

 (13.5)

Для одномерных систем выражение для Z-передаточной функции представляет собой отношение двух полиномов, т. е.

 (13.6)

 Корни полинома знаменателя передаточной функции (13.6) определяют полюса системы. Корни полинома числителя – это нули системы.

Связь между Z-преобразованием выхода Y(z) дискретной системы и Z-преобразованием ее входа U(z) определяется выражением

 (13.7)

Пусть динамика цифровой системы описывается векторным уравнением состояния и уравнением выхода вида

 (13.8)

 (13.9)

где Т – шаг квантования по времени.

Вычисляя Z-преобразование от обеих частей выражения (13.8) и разрешая его относительно X(z), получим

 (13.10)

Вычисляя Z-преобразование от уравнения выхода (13.9) и подставляя в полученное уравнение (13.10), придем к выражению

 (13.11)

Составляя отношение изображения выхода к изображению входа при нулевых начальных условиях, получим выражение для Z-передаточной функции цифровой системы, заданной в пространстве состояний:

 (13.12)

где Е – единичная матрица размера n×n.

Решение уравнения состояния (13.8) можно представить в виде

 (13.13)

Переход от непрерывной модели системы управления к дискретной по времени системе осуществляется по формулам вычисления матриц   и  :

 (13.14)

 (13.15)

Если матрица А непрерывной системы управления невырожденная, т. е. определитель ее не равен нулю, то матрицу   цифровой системы можно вычислить по формуле

 (13.16)

где Е – единичная матрица размера n×n.

Расчет матричной экспоненты определяется либо в виде бесконечного ряда

 (13.17)

либо, если собственные числа матрицы А различные, можно применить формулу Сильвестра:

 (13.18)