7. Консервативное звено

 

Консервативное звено является частным случаем колебательного звена при относительном коэффициенте затухания   В консервативном звене не происходит рассеяние энергии [1].

Уравнение консервативного звена:

 (11.61)

Передаточная функция консервативного звена:

 (11.62)

Комплексный коэффициент передачи консервативного звена:

 (11.63)

Амплитудно-частотная характеристика консервативного звена:

 (11.64)

ЛАЧХ консервативного звена:

 (11.65)

Фазовая частотная характеристика консервативного звена [19]:

 (11.66)

Выражение (11.66) можно получить из фазовой частотной функции колебательного звена предельным переходомпри 

 

8. Запаздывающее звено

 

Выходная величина в запаздывающем звене точно повторяет входную величину, но с некоторым запаздыванием по времени  [15]:

 (11.67)

Найдем передаточную функцию запаздывающего звена, применив к уравнению (11.67) прямое преобразование Лапласа:

Введем новую переменную 

Поскольку преобразование Лапласа определяется в пределах от нуля до бесконечности, то полученное выражение следует интегрировать в пределах от нуля до бесконечности, т. е.

В полученном выражении интеграл – это преобразование Лапласа от входной величины, поэтому

Теперь найдем передаточную функцию, взяв отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной:

 (11.68)

Комплексный коэффициент передачи запаздывающего звена:

 (11.69)

Амплитудно-частотная характеристика:

 (11.70)

ЛАЧХ запаздывающего звена:

 (11.71)

Фазовая частотная характеристика запаздывающего звена находится как арктангенс отношения мнимой части комплексного коэффициента передачи к его действительной:

 (11.72)

Анализ чувствительности непрерывных систем управления во временной области

 

Цель работы: определить функции и уравнения чувствительности во временной форме для линейных стационарных систем управления, заданных в пространстве состояний.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Исследуются динамические системы управления с описанием вида

 (12.1)

где X(t) – n-мерный вектор состояния, U(t) – r-мерный вектор управления, A(p) – матрица коэффициентов размера nn,В(q) – матрица коэффициентов размера nr, p – m-мерный вектор параметров, m  n², q – d-мерный вектор параметров,d  nr.

При фиксированных значениях векторов р и q система (12.1) является исходной (эталонной), а описываемое ею движение (решение при заданных начальных условиях) называется основным движением [15, 16].

Под действием различных факторов параметры системы могут изменяться. Пусть новые значения параметров относительно своих номинальных будут определяться в виде р_н + р, q_н + q. Тогда система (12.1) будет иметь описание

 (12.2)

где вектор X(t, p, q) характеризует движение варьированной системы (12.2).

Для малых значений изменения параметров функцию X(t, p, q) разложим в ряд Тейлора, ограничившись линейными членами, т. е.

 (12.3)

Коэффициенты линейных членов ряда (12.3) называются функциями чувствительности временных характеристик первого порядка, или просто функциями чувствительности временных характеристик  ,  :

 (12.4)

 (12.5)

С учетом (12.4), (12.5) разложение (12.3) запишем в виде

 (12.6)

Вычитая X(t) из обеих частей варьированного движения (12.6), получим дополнительное движение

 (12.7)

Функции чувствительности (12.4), (12.5) с учетом индексации можно представить в виде матриц – матриц чувствительности:

 (12.8)

 (12.9)

Матрицы чувствительности (12.8), (12.9) – это матрицы Якоби.

Компоненты функции чувствительности запишем в виде

Считая, что функции, содержащие параметры, являются непрерывно дифференцируемыми по заданным параметрам, разложим их в ряды Тейлора, ограничившись линейными членами разложения:

 (12.10)

Частные производные, входящие в уравнения (12.10), вычисляются при номинальных значениях параметров.

Продифференцируем уравнение (12.6) по времени t:

 (12.11)

Приравняем (12.10) правой части (12.2) с учетом (12.9):

С учетом (12.6) получим

 (12.12)

Раскрывая скобки в правой части (12.12) и учитывая, что произведение малых величин есть малая величина более высокого порядка малости по отношению к величинам сомножителей, можно пренебречь этими малыми. Тогда получим

 (12.13)

 Определим уравнение дополнительного движения как разность движений варьированной системы (12.13) и исходной (12.1):

 (12.14)

Уравнение (12.14) продифференцируем по вариациям параметров. Сначала возьмем частную производную по   от обеих частей уравнения (12.12):

затем – частную производную по   от обеих частей уравнения (12.14):

в итоге получим следующие уравнения чувствительности:

 (12.15)

Решая дифференциальные уравнения чувствительности при нулевых начальных условиях, можно найти функции чувствительности временных характеристик при фиксированном индексе уравнения i, а также матрицы чувствительности. В уравнениях чувствительности (12.15) переменные состояния X(t) и управления U(t) выступают в качестве воздействий. Частные производные, входящие в уравнения (12.15), существуют в том случае, если параметры изменяются непрерывно.