3.2. Применение критерия устойчивости найквиста в случае неустойчивой разомкнутой системы

 

Если разомкнутая система неустойчивая, то экспериментальное определение АФХ исключается [9, 14]. Для такой системы АФХ может быть построена по уравнениям системы, и по ней можно судить об устойчивости системы.

В случае неустойчивой разомкнутой системы изменение аргумента   при возрастании частоты  от 0 до +равно

 (10.23)

где р – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой части комплексной плоскости.

Если замкнутая система устойчива (р = 0), то по принципу аргумента

 (10.24)

На основании (10.16), (10.23), (10.24) будем иметь

 (10.25)

Формулировка Критерия устойчивости Найквиста в случае неустойчивой разомкнутой системы: замкнутая система автоматического управления будет устойчивой, если АФХ разомкнутой системы   охватывает точку с координатами (–1, j0) в положительном направлении р/2 раз, где р – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Анализ устойчивости возможен также по числу переходов АФХ (правило переходов Я. З. Цыпкина) разомкнутой системы через действительную ось [9, 19]: замкнутая система автоматического управления будет устойчивой, если разность между положительными переходами АФХ разомкнутой системы отрезка действительной оси (–, –1) равнар/2, где р – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Переход характеристики   через отрезок вещественной оси слева от точки (–1, j0), т. е. через отрезок (–, –1), при возрастании частоты будет положительным, если он происходит снизу вверх. Если характеристика   начинается на отрезке (–, –1) при  = 0 или заканчивается на нем при  = , то считают, что она совершаетполперехода [19].

Критерий устойчивости Найквиста называют амплитудно-фазовым критерием устойчивости, а также критерием Найквиста – Михайлова [9].

Критерий устойчивости Найквиста позволяет по годографу АФХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы автоматического управления (системы с обратной связью). Критерий может быть использован и в тех случаях, когда дифференциальные уравнения системы (или отдельных ее звеньев) не известны, но проектировщик располагает соответствующими экспериментальными частотными характеристиками, которые могут быть получены в установившемся режиме функционирования устойчивой системы.

 

3.3. Критерий устойчивости найквиста в случае астатической разомкнутой системы

 

Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, т. е. является астатической с порядком астатизма, равным k, то ее передаточную функцию можно представить в виде

 

где k – число нулевых корней характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии; K(s) и D₁(s) – полиномы от s, причем D₁(s) не имеет нулей в правой полуплоскости и на мнимой оси. Кратность корня характеристического уравнения s = 0 соответствует порядку астатизма k.

В этом случае путем искусственного сдвига нулевых корней (p_i = ) с последующим предельным переходом ( 0 ) рассматриваемую ситуацию можно свести к случаю устойчивой или неустойчивой системы, что позволит применить приведенные формулировки критерия Найквиста.

Для устойчивости системы автоматического управления, которая в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости, имея нулевые корни характеристического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы W_p(j), дополненный в бесконечности, при изменении частоты  от 0 до  не охватывал критическую точку (–1, j0) [22].

Рассмотрим случай, когда разомкнутая система имеет нулевые и правые корни (полюса) своего характеристического уравнения. Обозначим через H – количество полюсов, лежащих на мнимой оси, через р – количество полюсов, лежащих в правой полуплоскости комплексной плоскости корней, Нk = (H – k) – количество отличных от нуля полюсов передаточной функции разомкнутой системы, расположенных на мнимой оси [12].

Как и ранее введем функцию  :

 

где   – характеристический полином разомкнутой системы,

 – характеристический полином замкнутой системы.

Обозначим 

Если замкнутая система устойчива (р = 0, k = 0, Hk = 0), то на основании принципа аргумента получаем

Найдем изменение аргумента функции  :

где n – степень характеристического полинома разомкнутой (и замкнутой) системы.

Тогда следует утверждение [12]: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики   разомкнутой системы при изменении частоты  от 0 до + охватывал точку (–1, j0) на угол   т. е.

 (10.26)