2. Критерий устойчивости михайлова

 

Этот критерий устойчивости сформулирован в 1938 г. советским ученым А. В. Михайловым [1, 9, 13, 14, 19, 22]. Он непосредственно вытекает из принципа аргумента (10.6) и является его геометрической интерпретацией. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид (10.1), т. е.

 (10.7)

Если все корни этого уравнения лежат в левой части комплексной плоскости (что соответствует устойчивой системе), а в правой части плоскости корней нет (p = 0), то изменение аргумента равно

 (10.8)

Из (10.8) следует вывод: система автоматического управления (регулирования) является устойчивой, если при возрастании угловой частоты  от – до + изменение аргумента   будет равно n, где n – степень характеристического уравнения  .

При изменении частоты  от – до + вектор   на комплексной плоскости опишет своим концом кривую, которая называется характеристической кривой, или годографом (кривой Михайлова) вектора  .

Уравнение характеристической кривой определяется подстановкой   в характеристический полином

и последующим разделением действительной и мнимой частей:

 (10.9)

где

 (10.10)

В (10.10)   и   называют вещественной (действительной) и мнимой функциями Михайлова. График функции  , определяемой выражением (10.9), называется кривой или годографом Михайлова.

Действительная часть  , т. е.   является четной функцией, а мнимая часть  , т. е.   – нечетной функцией частоты . Поэтому для отрицательных значений  имеем

 

С учетом четности и нечетности функций   и   годограф Михайлова симметричен относительно действительной оси при + и –. При построении годографа Михайлова можно ограничиться лишь положительными значениями частоты  от 0 до +. При этом угол поворота вектора   уменьшается вдвое, т. е.

 (10.11)

Из (10.11) определяем число правых корней уравнения   при условии, что частота  меняется от 0 до +:

 (10.12)

Из полученного соотношения (10.12) видно, что число правых корней будет равно нулю при одном-единственном условии:

 (10.13)

Выражение (10.13) является необходимым, но не достаточным условием устойчивости [18]. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n корней характеристического уравнения были левыми; среди них не должно быть корней, лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль комплексный полином  , т. е. должно выполняться еще одно условие:

 (10.14)

Формулы (10.13) и (10.14) представляют математическое выражение критерия устойчивости Михайлова.

1-я формулировка критерия устойчивости Михайлова. Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова   при изменении частоты  от 0 до+ повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол n/2, где n – порядок характеристического уравнения.

Из (10.10) вытекает, что для устойчивых систем кривая Михайлова при  = 0 должна начинаться на вещественной положительной полуоси. Кроме того, для устойчивых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, аргумент (фаза) с ростом частоты должен возрастать монотонно, т. е. вектор   должен поворачиваться только против часовой стрелки, поскольку с ростом частоты монотонно возрастают имеющие одинаковые (положительные) знаки фазы элементарных векторов (j – _i), которые являются слагаемыми фазы вектора  .

2-я формулировка критерия устойчивости Михайлова. Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова при изменении частоты от 0 до +, начинаясь при = 0 на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения системы управления.

Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора   оказывается меньше, чем n/2.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения.

Кривую Михайлова строят по точкам, задавая различные значения частоты  в уравнениях (10.10); в число точек желательно включить все точки пересечения кривой с осями координат, получаемые как корни каждого из уравнений (10.10). Для устойчивых систем корни уравнений (10.10) должны иметь значения, чередующиеся по мере возрастания частоты  от 0 до +.