Линеаризация дифференциальных уравнений систем автоматического управления

 

Цель работы: освоить методику линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих объекты управления, исследовать динамические свойства нелинейных и линеаризованных систем.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

На определенном этапе разработки и исследования системы управления получают ее математическое описание – описание процессов, происходящих в системе, на языке математики [19].

Уравнения (а также структурные схемы) системы управления называют ее математической моделью [19]. Различные физические процессы могут описываться одними и теми же уравнениями.

Рассмотрим математическое описание непрерывных систем управления с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае зависимость между величинами, характеризующими состояние системы   и входными управляющими воздействиями (управлениями)   а также некоторыми возмущающими воздействиями является нелинейной, т. е. в большинстве случаев звенья и системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями произвольного порядка.

Предположим, что описание некоторого объекта (системы) управления дается следующим векторным нелинейным дифференциальным уравнением:

 (1.1)

 (1.2)

где  – n-мерный вектор состояния объекта управления,  – r-мерный вектор управления,  – нелинейная n-мерная вектор-функция,  – m-мерный вектор выхода объекта,  – нелинейная m-мерная вектор-функция, Т – символ транспонирования, m ≤ n.

Векторные уравнения (1.1), (1.2) могут быть записаны в скалярном виде

 (1.3)

 (1.4)

При различных управляющих воздействиях и заданных начальных условиях решение уравнения (1.1) также будет различным. Обозначим через  опорные функции, соответствующие заданному режиму. В этом случае они должны удовлетворять своему дифференциальному уравнению (векторному), т. е.

 (1.5)

Конечное уравнение выхода примет вид

 (1.6)

Предположим, что режим работы системы управления, описываемой векторным дифференциальным уравнением (1.5), изменился. Тогда это изменение будет происходить относительно заданного режима и опорных функций  , т. е.

 (1.7)

 (1.8)

Конечное уравнение выхода также изменится, т. е.

 (1.9)

Продифференцируем (1.7) по времени (по независимой переменной t)

 (1.10)

С учетом (1.1), (1.7), (1.8) запишем (1.10) в следующем виде:

 (1.11)

Аналогично для уравнения выхода получим

 (1.12)

Если вектор-функции   в (1.11), (1.12) являются аналитическими, то тогда правую часть векторного дифференциального уравнения (1.11) и правую часть конечного уравнения (1.12) можно разложить в ряд Тейлора относительно заданного режима, т. е. относительно заданных значений  :

 (1.13)

 (1.14)

В (1.13), (1.14) приводим только линейные члены разложения, полагая, что отклонения   являются малыми. Поэтому высшие члены разложения (нелинейные) будут малыми более высокого порядка, чем  . Частные производные в (1.13), (1.14) вычисляются в заданных точках  , которые должны быть известны. Оставляя линейные члены разложения в (1.13) и подставляя в (1.11), получим

 (1.15)

 

Из (1.15) вычтем (1.5):

 (1.16)

Приводя подобные члены в (1.16), получим

 (1.17)

где матричные коэффициенты при   имеют следующий вид:

 (1.18)

 (1.19)

Введенные матрицы (1.18), (1.19) называются матрицами Якоби. Обычно их обозначают через А и В, т. е.

 (1.20)

 (1.21)

Проделав подобную процедуру для уравнения выхода, получим

 (1.22)

Частные производные в (1.22) являются матрицами, которые принято обозначать через С и D, т. е.

 

 (1.23)

 (1.24)

 

С учетом введенных матриц А, В, С, D перепишем уравнения (1.17), (1.22):

 (1.25)

 (1.26)

Полученные уравнения (1.25), (1.26) являются уравнениями в отклонениях и определяют динамику объекта управления вблизи заданного режима   Уравнения (1.25), (1.26) линейные. Если матрицы А, В, С, D, полученные в результате разложения в ряд Тейлора, не зависят от времени (переменной t), то объект управления с описанием (1.25), (1.26) будет называться линейным стационарным объектом управления, в противном случае –нестационарным. Матрицы А, В, С, D будут переменными во времени, если функции   содержат t в явном виде или установившийся процесс в системе определяется переменными значениями   [1].

Понимая под приращениями   сами переменные, перепишем уравнения (1.25), (1.26) в виде

 (1.27)

 (1.28)

где X(t) есть n-мерный вектор состояния объекта, U(t) – r-мерный вектор управления, Y(t) – m-мерный вектор выхода, А – матрица состояний объекта размера n×n, В – матрица входа размера n×r, С – матрица выхода размера m×n, D – матрица обхода размера m×r, m ≤ n.

Часто в качестве заданных опорных функций, относительно которых производят разложение в ряд Тейлора, принимают функции, характеризующие равновесный режим работы системы, т. е. такой режим, когда функции не изменяются во времени.

Описание объекта управления системой дифференциальных уравнений первого порядка (1.27) называетсястандартизированной векторно-матричной формой Коши. С учетом конечного уравнения выхода (1.28) имеем описание объекта управления в так называемой нормальной форме пространства состояний [18]. Уравнения (1.27), (1.28) описывают стационарный объект управления: когда входящие в описание матрицы не зависят от времени. Если же объект нестационарный, то его матрицы будут зависеть от времени и его математическое описание примет следующий вид:

 (1.29)

 (1.30)

В дальнейшем будут рассматриваться стационарные объекты управления с описание вида (1.27), (1.28).