2. Повторные независимые испытания

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. последовательность таких независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

В схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: событие А («успех») с вероятностью Р(А) = р и событие («неудача») с вероятностью Р( ) = q, причем р + q = 1.

2.1. Формула Бернулли

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом независимом испытании постоянна, то вероятность того, что событие А наступит т раз в п независимых испытаниях, равна

,

где q = 1 – р.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит :

1. менее m раз ;

2. не более m раз ;

3. не менее m раз ;

4. более m раз .

Пример 2.1.1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки равна 0,3. Произведено 7 выстрелов. Определить вероятность того, что: а) три пули попадут в цель; б) не менее трёх пуль попадёт в цель.

Решение. Всего произведено 7 выстрелов, то есть n = 7. Вероятность попадания при одном выстреле р = 0,3. Тогда вероятность не попадания в цель при одном выстреле будет .

а) Найдём вероятность того, что при 7 выстрелах будет ровно 3 попадания, то есть m = 3.

.

б) Найдём вероятность того, что при 7 выстрелах будет не менее трёх попаданий (m 3), то есть или 3, или 4, или 5, или 6, или 7 попаданий. Эти события несовместны, поэтому вероятность того, что при 7 выстрелах будет не менее трёх попаданий, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Но , так как образуют полную группу событий и являются противоположными событиями. Вероятность события найти легче, так как необходимо вычислить вероятности только трёх событий, что будет или 0 попаданий, или 1 попадание, или 2 попадания. Поэтому

, а

.

Вычислим вероятности:

;

;

.

Тогда

.

А искомая вероятность, равна

.

Число т₀ наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим числом, если вероятность появления этого события Р_п(т₀) превышает (по крайней мере не меньше) вероятностей других событий Р_п(т) при любом т и определяется по формуле:

.

При этом, если число пр+ р — не целое, то т₀ равно целой части этого числа (т₀ = [np + p]), если же np + p — целое число, то наивероятнейших чисел два: т₀ = пр + р и т΄₀ = пр – q.

Пример 2.1.2. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,8. Найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных и вычислить соответствующую этому числу вероятность.

Решение. Наивероятнейшее число появления бракованных деталей найдём по формуле

,

где n = 5, p = 0,2 и .

или

.

Единственное целое число, удовлетворяющее полученному неравенству, , а соответствующая ему вероятность равна:

.

Задачи

2.1. Какова вероятность того, что при 8 подбрасываниях монеты герб выпадет ровно 5 раз?

2.2. По данным технического контроля 2% изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найдите вероятность того, что из 6 изготовленных станков только 4 нуждаются в дополнительной регулировке.

2.3. В семье 6 детей. Найдите вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более четырёх мальчиков д) хотя бы один мальчик. Вероятность рождения мальчика принимается равной 0,51.

2.4. Найдите наиболее вероятное число выпаданий шестерки при 46 бросаниях игральной кости.

2.5. Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы «да» и «нет». Найдите наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст учащийся, если он станет выбирать ответ по каждому вопросу наудачу. Найдите вероятность наиболее вероятного числа правильных ответов.

2.6. Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы «да» или «нет». Найдите вероятность того, что учащийся, давший 8 правильных ответов, знает 8 вопросов, если известно, что 10% учащихся знают ответы на 6 вопросов, 30% — на 7 вопросов, 20% — на 8 вопросов, а остальные знают ответы не более чем на 8 вопросов.

2.7. Вероятность изготовления стандартной детали 0,95. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наиболее вероятное число нестандартных деталей в ней равнялось 55?

2.8. Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью 0,01 имеет дефект. Каков должен быть объем случайной выборки с возвращением, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно дефектное изделие была не меньше 0,95?

2.9. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не меньше 8 автомашин.

2.10. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному.

2.11. Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании монеты сработает неправильно, равна 0,03. Найдите наиболее вероятное число случаев правильной работы автомата, если будет опущено 150 монет.

2.12. Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании одной монеты сработает правильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет, чтобы наиболее вероятное число случаев правильной работы автомата было равно 100?

2.13. Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответа, причем один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того, что учащийся, не знающий ни одного вопроса, даст: а) 3 правильных ответа; б) не менее 3 правильных ответов (предполагается, что учащийся выбирает ответы наудачу).

2.14. Производится 10 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,2. Найдите наивероятнейшее число попаданий в цель и вычислите соответствующую этому числу вероятность.

2.15. Рабочий обслуживает 12 станков одного типа. Вероятность того, что станок потребует внимание рабочего в течение часа равна . Найдите: а) вероятность того, что в течение часа четыре станка потребуют внимания рабочего; б) наиболее вероятное число станков, которые потребуют внимания рабочего в течение часа.

2.16. Проведено 5 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании 2 монет. Найдите вероятность того, что ровно в 3 испытаниях появились по 2 герба.

2.17. При передаче сообщения вероятность искажения для каждого знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 5 знаков: а) не будет искажено; б) содержит ровно одно искажение; в) содержит не более 3 искажений?

2.18. Испытание состоит в бросании 3 игральных костей. Найдите вероятность того, что в 5 независимых испытаниях ровно 2 раза выпадет по 3 единицы.

2.19. Производится 2n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность успеха равна р. Найдите вероятность того, что все испытания с четными номерами закончатся успехом и общее число успехов будет равно n + m, (0  m  n).

2.20. Обрабатываемые на станке детали сортируются по размерам на 2 группы. Каждая очередная деталь независимо от предыдущих с равными вероятностями попадает в 1 или 2 группу. Пусть в начале смены для каждой группы деталей приготовлено по ящику емкостью r. Какова вероятность того, что в момент, когда очередную деталь будет некуда класть, в другом ящике будет m деталей?

2.21. Сколько следует выполнить повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 23, если вероятность появления этого события в одном отдельно взятом испытании 0,85.

(Ответ: 27.)

2.22. Два студента приобрели лотерейные билеты: один — 10, другой — 15 штук. Каково наиболее вероятное число билетов, по которым может выиграть каждый из студентов, если вероятность выигрыша на один билет равна ?

(Ответ: ; или 4.)

2.23. Произведено 35 независимых испытаний, причём установлено, что наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях оказалось равным 20. Какова вероятность наступления события?

(Ответ: 0,57.)

2.24. Определить число покупок, сделанных в магазине покупателями в течение часа, если в магазин вошло за это время 50 покупателей, а вероятность того, что вошедший покупатель сделает покупку, равна .

(Ответ: 20.)