1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Теорема (формула полной вероятности). Если событие А может произойти одновременно с одним из событий Н₁, Н₂, ..., Н_n, представляющих собой так называемую полную группу попарно несовместных событий (то есть в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие из этой группы), то события Н₁, Н₂, ..., Н_n называются гипотезами, а вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

,

где — вероятность -ой гипотезы, причём,

,

а — условная вероятность события А при осуществлении гипотезы Н_i.

Пример 1.7.1. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой — 5 белых и 3 черных, во второй — 2 белых и 6 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Событие А — из случайно выбранной урны вынут белый шар. Будем считать гипотезами выбор одной из урн, т.е. гипотеза Н₁ — выбрана 1-я урна; гипотеза Н₂ — выбрана 2-я урна; гипотеза Н₃ — выбрана 3-я урна. Поскольку урны одинаковы, каждую из них можно выбрать с одинаковой вероятностью, а так как сумма вероятностей гипотез равна 1:

,

то вероятность каждой гипотезы:

.

Условную вероятность события А, то есть извлечения белого шара из урны, находим по формуле классического определения вероятности. Количеством благоприятных исходов при этом является число белых шаров в 1-й урне m₁ = 5, во 2-й урне m₂ = 2 и в 3-й урне m₃ = 3, а числом возможных исходов — общее число шаров в урне n₁ = 8, n₂ = 8, n₃ = 4. Поэтому

.

Используя формулу полной вероятности, получаем:

Если известно, что в результате опыта событие А произошло, то эта информация может изменить вероятности гипотез: повышаются вероятности тех гипотез, при которых событие происходит с большей вероятностью, и уменьшаются вероятности остальных. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется так называемая теорема гипотез, или формула Байеса:

,

или, с учетом формулы полной вероятности

Пример 1.7.2. В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы (100%), 8 студентов знают ответы на 70% вопросов и 7 — на 50%. Первый вызванный студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник.

Решение. Событие А — студент ответил правильно на первый вопрос экзаменационного билета. Обозначим гипотезой H₁ то, что студент является отличником, H₂ — что он принадлежит ко второй группе, H₃ — к третьей. Тогда вероятности гипотез найдём по формуле классического определения вероятности, где n = 20,

Найдем условную вероятность события А при осуществлении каждой гипотезы:

/

Следовательно, полная вероятность события А равна

Применяя формулу Байеса, находим:

.

Задачи

1.94. В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и одна – второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. а) Какова вероятность того, что выбран юноша? б) Выбранный человек оказался юношей. Какова вероятность, что он первокурсник?

(Ответ: а) ; б) .)

1.95. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.

(Ответ: 0,5.)

1.96. В урну, содержащую 3 шара, положили белый шар, после чего из неё наудачу вынули один шар. Найдите вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если все возможные предположения о первоначальном составе шаров по цвету равновозможны.

(Ответ: 0,625.)

1.97. Бросается монета, и если она падает так, что сверху оказывается герб, вынимаем один шар из урны I; в противном случае – из урны II. Урна I содержит 3 красных и 1 белый шар. Урна II содержит 1 красный и 3 белых шара. а) Какова вероятность того, что вынутый шар красный? б) Какова вероятность того, что шар вынимался из I урны, если он оказался красным?

(Ответ: а) 0,5; б) 0,75.)

1.98. На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции, а машина В – 60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, оказывается браком, а у машины В – брак 2 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине В?

(Ответ: 0,6; 0,4.)

1.99. В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего – 0,7, для посредственного – 0,5. Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный стрелок попадет в цель; б) 2 наудачу выбранных стрелка попадут в цель.

(Ответ: а) 0,68; б)  0,3. )

1.100. В каждой из 3 урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный затем из третьей урны, окажется белым.

(Ответ: 0,4.)

1.101. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, с четвертого – 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым – 1%, третьим – 0,5% и четвертым –0,2%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь небракованная.

(Ответ: 0,9878.)

1.102. В 3 урнах содержатся белые и черные шары. В первой – 2 белых и 3 черных шара, во второй – 2 белых и 2 черных шара, в третьей – 3 белых и один черный шар. Из первой урны переложен шар во вторую. После этого шар из второй урны переложен в третью. Наконец, из третьей урны шар переложен в первую урну. а) Какой состав шаров в первой урне представляется наиболее вероятным? б) Определите вероятность того, что во всех урнах состав шаров останется без изменения.

(Ответ: а) 2 белых и 3 черных шара; б) 0,336.)

1.103. Из 5 стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 3 – с вероятностью 0,4. а) Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет? б) Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым двум или к трем последним?

(Ответ: а) вероятнее, что не попадет; б) одинаково вероятны. 0,9989.)

1.104. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определите вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

(Ответ: 0,9989.)

1.105. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%, причем среди забракованной по признаку А продукции 6% имеют дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В составляет 2%. Найдите вероятность наличия дефекта у наудачу взятой единицы продукции завода.

(Ответ: 0,022.)

1.106. Имеются 2 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из второй урны извлекают один шар. Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен, если шар, извлеченный из второй урны, окажется белым?

(Ответ: Вероятнее, что переложены белый и черный шары.)

1.107. 4 стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятности попадания для данных стрелков равны 0,4; 0,6; 0,7; 0,8. После стрельбы в мишени обнаружены 3 пробоины. Найдите вероятность того, что промахнулся четвертый стрелок.

(Ответ: Р  0,088.)

1.108. Из 20 студентов, пришедших на экзамен, 8 подготовлены отлично, 6 – хорошо, 4 – посредственно и 2 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 40 вопросов. Студент, подготовленный отлично, знает ответы на все 40 вопросов, хорошо – на 35 вопросов, посредственно – на 25 вопросов и плохо – на 10 вопросов. Студент ответил на все 3 вопроса билета. Найдите вероятность того, что он подготовлен: а) хорошо; б) плохо.

(Ответ: а) 0,307; б) 0,002.)

1.109. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

(Ответ: Ко второй группе.)

1.110. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 – 25 вопросов, 5 – 20 вопросов и 2 – 15 вопросов. Вызванный студент ответил на поставленный вопрос. Найдите вероятность того, что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только половину вопросов.

(Ответ: Р  0,476; б) Р  0,048.)

1.111. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по шоссе, как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

(Ответ: 3/7.)

1.112. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – с заболеванием L, 20% – с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найдите вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

(Ответ: 5/11.)

1.113. В первой урне находится один белый и 9 черных шаров, а во второй – один черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили случайным образом по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью (свободную) урну. Найдите вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

(Ответ: 38/105.)

1.114. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% – вторую, 20,9% – третью и 7,9% – четвертую группу крови. а) Найдите вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора. б) Найдите вероятность того, что переливание крови можно осуществить, если имеются 2 донора, 3 донора.

(Ответ: а)  0,574; б)  0,778;  0,873.)

1.115. На 3 дочерей – Алису, Марину и Елену – в семье возложены обязанность мыть посуду. Поскольку Алиса старшая, ей приходится выполнять 40% всей работы. Остальные 60% работы Марина и Елена делят поровну. Когда Алиса моет посуду, вероятность для нее разбить по крайней мере одну тарелку равна 0,02. Для Марины и Елены эта вероятность равна соответственно 0,03 и 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но они слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду мыла Алиса? Марина? Елена?

(Ответ: 8/29; 9/29; 12/29.)

1.117. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой ведет 5 дорог. Если он пойдёт по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет 0,6, если по второй — 0,3; если по третьей — 0,2; если по четвёртой — 0,1; если по пятой — 0,1. Какова вероятность того, что турист пошёл по первой дороге, если он через 1 час вышел из леса.

(Ответ: 6/13.)

1.118. В мае вероятность дождливого дня равна 0,2. Для футбольной команды вероятность выиграть в ясный день равна 0,7, а в дождливый — 0,4. Известно, что в мае они выиграли некоторую игру. Какова вероятность того, что в этот день шёл дождь?

(Ответ: 1/8.)

1.119. В партии 600 лампочек: 200 изготовлены на первом заводе, 250 — на втором, 150 — на третьем. Вероятность того, что лампочка окажется стандартной, для первого завода равна 0,97; для второго — 0,91; для третьего — 0,93. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка, оказавшаяся стандартной, изготовлена первым заводом?

(Ответ: 0,3.)

1.120. Пассажир может купить билет в одной из трёх касс вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, , ко второй — , к третьей — . Вероятности того, что билеты распроданы в первой кассе — ; во второй кассе — , в третьей — . Пассажир обратился в одну из касс и получил билет. Определить вероятность того, что он направился к первой кассе.

(Ответ: 72/127.)

1.121. В спартакиаде участвуют: из первой группы 4 студента, из второй — 6 и из третьей — 5. Студент первой группы попадает в сборную института с вероятностью 0,9; для студента второй группы эта вероятность равна 0,7, а для студента третьей группы — 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. В какой группе вероятнее всего учится этот студент?

(Ответ: Вероятнее всего, что студент учится во второй группе.)

1.122. Имеется два одинаковых набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,8; а второго — 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.

(Ответ: 0,85.)